Seja $f: ightarrow ext{R}$ dada pelo gráfico a seguir: [Imagem do gráfico da função f] O conjunto imagem de f é $(- ext{∞}, 4]$

Alternativa D - O conjunto imagem de f é (-\infty, 4]

Análise da Função

Para determinar a alternativa correta, precisamos analisar as propriedades do gráfico da função f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} apresentado na imagem. Vamos examinar os pontos principais: o domínio visível, a imagem (valores de y) e o comportamento da curva.

1. Determinando o Conjunto Imagem

O conjunto imagem (ou contradomínio efetivo) corresponde a todos os valores que a função pode assumir no eixo vertical (y).

• Observamos dois picos máximos no gráfico: um em x=0 onde y=4 e outro em x=3 onde y=4. Não há nenhum ponto acima dessa altura.
• Após o pico em x=3, a reta desce cruzando o eixo x em x=4 e continua descendo indefinidamente (seta implícita ou continuidade da reta). Isso indica que a função assume valores negativos arbitrariamente grandes.
• Portanto, a menor parte do gráfico tende a -\infty e a maior parte é limitada por $4$.
• Conclusão: O conjunto imagem é o intervalo (-\infty, 4]. Isso confirma a Alternativa D.

2. Analisando as Demais Alternativas

Vamos verificar por que as outras opções estão incorretas:

• Alternativa A (Sobrejetora e não injetora):
• Não Injetora: Uma função é injetora se cada valor de saída vem de apenas uma entrada. No gráfico, vemos que f(0) = 4 e f(3) = 4. Como duas entradas diferentes geram a mesma saída, a função não é injetora.
• Não Sobrejetora: Para ser sobrejetora, a imagem deve ser igual ao contradomínio (\mathbb{R}). Como o máximo da função é $4$, ela nunca assume valores maiores que $4$ (como $5$ ou $10$). Logo, não é sobrejetora.
• Resultado: A afirmação está errada porque diz que é sobrejetora.
• Alternativa B (Bijetora):
• Para ser bijetora, a função precisa ser simultaneamente injetora e sobrejetora. Como analisamos acima, ela falha em ambas as condições.
• Resultado: Incorreta.
• Alternativa C (Periódica):
• Uma função periódica repete seu padrão em intervalos regulares. O gráfico mostra um comportamento irregular (desce, sobe, desce com inclinações diferentes) sem repetição.
• Resultado: Incorreta.
• Alternativa E (Crescente para todo x > 0):
• Uma função é crescente quando, ao aumentar x, o valor de y também aumenta.
• No gráfico, para x > 0:
• De x=0 a x=1, a função decresce (de $4$ para -2).
• De x=1 a x=3, a função cresce (de -2 para $4$).
• Para x > 3, a função volta a decrescer.
• Resultado: Incorreta, pois ela alterna entre crescimento e decrescimento.

Resumo

A análise visual dos extremos do gráfico revela que o valor máximo alcançado pela função é $4$ e ela possui ramos que tendem ao negativo infinito. Isso define o conjunto imagem como todos os números reais menores ou iguais a $4$.

Portanto, a resposta correta é a Alternativa D.