Seja $f: mathbb{R} ightarrow mathbb{R}$ definida por $f(x) = egin{cases} -x - 1, & x leq -1 \ -x^2 + 1, & -1 < x < 1 \ x - 1, & x geq 1 end{cases}$, o conjunto imagem de $f$ é dado por:

Alternativa C

Para determinar o conjunto imagem da função definida por partes, devemos analisar o conjunto de valores que f(x) pode assumir em cada um dos três intervalos do domínio e, em seguida, unir esses resultados.

Análise por Intervalos

Vamos calcular a imagem de cada fragmento da função:

1. Primeiro Caso (x \leq -1):

• A função é f(x) = -x - 1.
• Como x \leq -1, ao multiplicar por -1 invertemos a desigualdade: -x \geq 1.
• Subtraindo 1 de ambos os lados: -x - 1 \geq 0.
• Portanto, neste intervalo, a imagem é $[0, +\infty[$.

1. Segundo Caso (-1 < x < 1):

• A função é f(x) = -x^2 + 1.
• Trata-se de uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de x^2 negativo). O vértice ocorre em x = 0, onde f(0) = 1 (máximo local).
• Nos limites do intervalo aberto (x \to -1 e x \to 1), o valor tende a $0$.
• Portanto, neste intervalo, a imagem é $(0, 1]$.

1. Terceiro Caso (x \geq 1):

• A função é f(x) = x - 1.
• É uma função crescente. O menor valor ocorre no limite inferior x = 1, onde f(1) = 1 - 1 = 0.
• À medida que x aumenta, f(x) cresce indefinidamente.
• Portanto, neste intervalo, a imagem é $[0, +\infty[$.

Conclusão

O conjunto imagem total é a união das imagens calculadas acima:

Como o primeiro e o terceiro conjuntos já cobrem todos os números reais maiores ou iguais a zero, o resultado final é simplesmente:

Isso corresponde à Alternativa C.