Sejam E e F espaços vetoriais e T uma transformação linear de E em F. Assinale a afirmação correta sobre T.

Alternativa C

A questão aborda conceitos fundamentais da Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares entre espaços vetoriais. Para identificar a afirmação correta, é necessário compreender as definições precisas de domínio, contradomínio, imagem e núcleo de uma transformação.

Uma transformação linear T: E \to F associa cada vetor do espaço E (domínio) a um único vetor no espaço F (contradomínio). O comportamento dessa função é regido por propriedades de adição e multiplicação por escalar, mas não necessariamente preserva produtos internos ou operações vetoriais específicas sem mais informações.

Análise das Alternativas

Cada opção deve ser verificada contra as definições matemáticas rigorosas dos termos utilizados na álgebra linear.

• Opção a: Afirma que u \in Im(T). O elemento u pertence ao domínio E, enquanto a Imagem Im(T) é um subconjunto do contradomínio F. Geralmente, elementos do domínio não pertencem à imagem, a menos que os espaços sejam iguais e haja sobreposição específica. O correto seria afirmar que w \in Im(T).
• Opção b: Afirma que o Núcleo N(T) está contido em F. O núcleo é definido como o conjunto de vetores do domínio que se anulam sob a transformação. Portanto, N(T) \subseteq E, e não F.
• Opção c: Afirma que se u \in E e T(u) = 0, então u \in N(T). Esta é a definição exata de núcleo (ou kernel). O núcleo consiste exatamente nos vetores do domínio que mapeiam para o vetor nulo do contradomínio.
• Opção d: Sugere preservação de produto vetorial T(u \cdot v) = T(u) \cdot T(v). Transformações lineares preservam soma e multiplicação por escalar (T(u+v) = T(u)+T(v)), mas não há garantia geral de preservação de produtos entre vetores.
• Opção e: Afirma que se T é sobrejetora, N(T) = \emptyset. O núcleo de qualquer transformação linear sempre contém pelo menos o vetor nulo do domínio ($0_E$), pois T(0_E) = 0_F. Logo, o núcleo nunca é vazio.

Conceitos-Chave

Para consolidar o aprendizado, considere os pontos estruturais abaixo:

• Domínio (E): Conjunto de entrada da transformação.
• Contradomínio (F): Espaço onde os resultados existem.
• Imagem (Im(T)): Subespaço de F formado pelos resultados reais de T.
  Im(T) = \{T(u) \mid u \in E\} \subseteq F
• Núcleo (N(T)): Subespaço de E formado pelos vetores que vão para zero.
  N(T) = \{u \in E \mid T(u) = 0_F\}
• Propriedades Lineares:
  T(u + v) = T(u) + T(v)
  T(\alpha u) = \alpha T(u)

Conclusão

A alternativa C é a única correta porque ela reproduz fielmente a definição formal do núcleo de uma transformação linear. As demais opções confundem os espaços de origem e destino ou atribuem propriedades inexistentes às transformações lineares gerais.