Análise da Questão
O objetivo desta questão é identificar qual das afirmações sobre a função quadrática mista é incorreta. Vamos analisar cada alternativa passo a passo após simplificar a expressão da função.
A função dada é:
f(x) = a(4 - x^2) + (1 - a)(6 - 4x + x^2)
Primeiro, vamos expandir e agrupar os termos semelhantes para obter a forma padrão Ax^2 + Bx + C:
f(x) = 4a - ax^2 + 6 - 4x + x^2 - 6a + 4ax - ax^2
f(x) = (1 - 2a)x^2 + 4(a - 1)x + (6 - 2a)
Análise das Alternativas
Vamos testar cada uma das afirmações com base na função simplificada.
Alternativa (a): f(1) = 3 para qualquer valor de a
Substituímos x = 1 na expressão original (é mais rápido):
f(1) = a(4 - 1^2) + (1 - a)(6 - 4(1) + 1^2)
f(1) = a(3) + (1 - a)(3)
f(1) = 3a + 3 - 3a = 3
A afirmação é Verdadeira. O ponto (1, 3) pertence à curva independentemente de a.
Alternativa (c): f(x) terá apenas uma raiz real para a = \frac{1}{2}
Se a = \frac{1}{2}, o coeficiente de x^2 torna-se zero ($1 - 2(\frac{1}{2}) = 0$). A função deixa de ser quadrática e vira linear:
f(x) = 0x^2 + 4(\frac{1}{2} - 1)x + (6 - 2(\frac{1}{2}))
f(x) = -2x + 5
Uma equação do primeiro grau tem sempre exatamente uma raiz real.
A afirmação é Verdadeira.
Alternativa (d): f(x) terá uma raiz dupla para a = \frac{1}{3}
Para ter uma raiz dupla, o discriminante (\Delta) deve ser zero e o coeficiente de x^2 não pode ser zero.
Com a = \frac{1}{3}:
- Coeficiente de x^2: $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \neq 0$.
- Calculando \Delta = b^2 - 4ac:
b = 4(\frac{1}{3} - 1) = -\frac{8}{3}
c = 6 - \frac{2}{3} = \frac{16}{3}
\Delta = \left(-\frac{8}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{16}{3}\right) = \frac{64}{9} - \frac{64}{9} = 0
Como \Delta = 0, há uma raiz dupla.
A afirmação é Verdadeira.
Alternativa (e): f(x) terá pelo menos uma raiz real para qualquer valor real de a
Para que uma equação quadrática tenha raízes reais, precisamos de \Delta \geq 0. Vamos calcular o discriminante geral em função de a:
\Delta = [4(a - 1)]^2 - 4(1 - 2a)(6 - 2a)
\Delta = 16(a^2 - 2a + 1) - 4(6 - 2a - 12a + 4a^2)
\Delta = 16a^2 - 32a + 16 - 16a^2 + 56a - 24
\Delta = 24a - 8
Para ter raízes reais, devemos ter $24a - 8 \geq 0 \Rightarrow 24a \geq 8 \Rightarrow a \geq \frac{1}{3}$.
Isso significa que se escolhermos um a < \frac{1}{3} (por exemplo, a = 0), o discriminante será negativo e não haverá raízes reais.
Portanto, dizer que existe raiz para qualquer valor de a é falso.
A afirmação é Falsa.
Alternativa (b): y = 5 - 2x é tangente a f(x) apenas em x = 1
A interseção ocorre quando f(x) = 5 - 2x. Resolvendo essa igualdade (como mostrado no raciocínio interno), chega-se à equação (x-1)^2 = 0, que possui solução única x=1 com multiplicidade 2. Isso caracteriza tangência.
A afirmação é Verdadeira.
Conclusão
A questão pede a afirmação que não se pode dizer (ou seja, a falsa). Como demonstrado acima, a alternativa (e) é incorreta porque a existência de raízes reais depende do valor de a (especificamente a \geq 1/3).
Alternativa E