Sobre o sistema de equações: (x - 1)² + y² + z² = 1 x² + y² - z² = 0 x - z² = 0 pode-se dizer que:

Alternativa E - it has several (infinite) distinct solutions.

Análise do Sistema de Equações

O sistema apresentado é composto por três equações:

1. (x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 1
2. x^2 + y^2 - z^2 = 0
3. x - z^2 = 0

Para determinar o número de soluções, devemos resolver o sistema passo a passo.

Passo 1: Simplificação pela substituição

Da terceira equação, isolamos x:
x = z^2

Agora, substituímos x na segunda equação (x^2 + y^2 - z^2 = 0):
(z^2)^2 + y^2 - z^2 = 0
z^4 + y^2 - z^2 = 0
Isolando y^2:
y^2 = z^2 - z^4

Passo 2: Verificação de consistência

Substituímos x = z^2 e y^2 = z^2 - z^4 na primeira equação para ver se há consistência:
(z^2 - 1)^2 + (z^2 - z^4) + z^2 = 1
Expandindo o quadrado:
(z^4 - 2z^2 + 1) + z^2 - z^4 + z^2 = 1
Simplificando os termos semelhantes (z^4 soma e subtrai, -2z^2 soma com z^2 e z^2):
1 = 1

A identidade $1=1$ confirma que as equações são dependentes. Isso significa que qualquer par (x, y, z) que satisfaça x = z^2 e y^2 = z^2 - z^4 será uma solução válida.

Passo 3: Determinação do número de soluções

Para que existam soluções reais, o valor de y^2 deve ser maior ou igual a zero:
z^2 - z^4 \geq 0
z^2(1 - z^2) \geq 0

Como z^2 é sempre positivo, a condição depende de (1 - z^2) \geq 0, o que implica:
z^2 \leq 1 \quad \Rightarrow \quad -1 \leq z \leq 1

Conclusão Lógica:
Qualquer valor real de z no intervalo [-1, 1] gera um valor correspondente para x (x=z^2) e valores para y (y = \pm \sqrt{z^2 - z^4}).

• Se escolhermos z = 0, temos a solução (0, 0, 0).
• Se escolhermos z = 0.5, temos soluções reais.
• Como há um intervalo contínuo de valores possíveis para z, existem infinitas soluções.

Portanto, a alternativa correta é a (e).