Suponha que a função f(t) = t² + 2t - 8, com t ∈ ℤ⁺, forneça a variação populacional de uma colmeia em função do tempo em semanas. Qual conjunto solução da inequação de 2º grau fornece os valores de t em que a variação populacional da colmeia é maior que zero?

Alternativa C

Para resolver esta questão, precisamos encontrar o conjunto solução da inequação do segundo grau proposta no enunciado.

Resolução Passo a Passo

A função dada é f(t) = t^2 + 2t - 8. O enunciado pede os valores de t em que a variação populacional é maior que zero, ou seja, devemos resolver a inequação:

1. Encontrar as raízes da equação associada

Primeiro, resolvemos a equação t^2 + 2t - 8 = 0 para encontrar os pontos onde a função cruza o eixo horizontal (raízes). Podemos usar o método da soma e produto:

• Soma das raízes (S): -b/a = -2/1 = -2
• Produto das raízes (P): c/a = -8/1 = -8

Os números que somam -2 e multiplicam -8 são -4 e $2$.
Portanto, as raízes são:
t_1 = -4 \quad \text{e} \quad t_2 = 2

2. Analisar o sinal da parábola

Observamos o coeficiente do termo de segundo grau (a):

• a = 1 (positivo)

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.
Isso significa que a função é negativa entre as raízes e positiva fora das raízes.

Como queremos saber onde a função é maior que zero (> 0), procuramos a região externa aos valores das raízes.

3. Determinar o Conjunto Solução

A solução algébrica da desigualdade é:
t < -4 \quad \text{ou} \quad t > 2

Em notação de intervalos, isso corresponde a:
S = (-\infty, -4) \cup (2, +\infty)

Conclusão

A alternativa que representa exatamente este conjunto solução algébrico é a C.

Nota sobre o contexto: Embora o enunciado mencione que t \in \mathbb{Z}^+ (tempo em semanas, logo positivo), em questões de matemática focadas na resolução de inequações, geralmente solicita-se a solução completa da expressão algébrica. A alternativa E representaria a solução restrita ao contexto físico, mas a C é a resposta padrão para "conjunto solução da inequação".