The sum of all solutions of equation $\sin(2x) = \cos(x)$ in the closed interval $[0, 2\pi]$ is

Alternativa A

O problema solicita a soma de todas as soluções da equação trigonométrica \sin(2x) = \cos(x) no intervalo fechado [0, 2\pi]. Para resolvê-la, utilizaremos identidades trigonométricas para transformar a equação em um produto igual a zero.

Desenvolvimento

A primeira etapa é aplicar a fórmula do arco duplo para o seno, que é dada por \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x). Substituindo na equação original, temos:

Em seguida, movemos todos os termos para o mesmo lado da igualdade e fatoramos o termo comum \cos(x):

Isso nos permite dividir a resolução em dois casos independentes:

1. Caso 1: \cos(x) = 0
2. Caso 2: $2\sin(x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = \frac{1}{2}$

Análise das Soluções

Agora, devemos encontrar os valores de x para cada caso dentro do intervalo [0, 2\pi]:

• Para \cos(x) = 0:
  O cosseno é zero nos pontos onde o ângulo está no eixo vertical. No intervalo dado, isso ocorre em:
  x_1 = \frac{\pi}{2}
  x_2 = \frac{3\pi}{2}
• Para \sin(x) = \frac{1}{2}:
  O seno é positivo nos primeiros e segundos quadrantes. O ângulo de referência é \frac{\pi}{6}.
  No primeiro quadrante:
  x_3 = \frac{\pi}{6}
  No segundo quadrante:
  x_4 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}

Conclusão

Por fim, somamos todas as soluções encontradas (x_1, x_2, x_3, x_4):

Agrupando os termos com denominadores iguais facilita o cálculo:
\left(\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6}\right) + \left(\frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{6\pi}{6} + \frac{4\pi}{2} = \pi + 2\pi = 3\pi

Portanto, a soma de todas as soluções é $3\pi$, correspondendo à alternativa (a).