Um arquiteto está projetando a fachada de um edifício e precisa calcular o valor de x, que representa a medida de uma janela em metros. O cálculo envolve a solução de uma equação que surge ao considerar as proporções estéticas do edifício. A equação que ele utiliza é 2(x+3) – 4(x+2) = x + 10 – 5x. O arquiteto precisa garantir que a solução dessa equação seja precisa para que as medidas da janela fiquem dentro dos padrões exigidos. Com base na situação apresentada, analise as afirmativas a seguir: A equação possui uma única solução real. II. A solução da equação é x=6. III. A equação não possui raiz real. IV. A equação dada não tem grau definido.

Alternativa D

Esta questão aborda a resolução de uma equação do 1º grau, fundamental para problemas práticos como cálculos de medidas em projetos arquitetônicos. Vamos analisar passo a passo a equação apresentada no enunciado.

Resolução da Equação

A equação fornecida é:
2(x+3) - 4(x+2) = x + 10 - 5x

Para encontrar o valor de x, devemos realizar as seguintes operações algébricas:

1. Eliminar os parênteses (distributiva):
   2 \cdot x + 2 \cdot 3 - 4 \cdot x - 4 \cdot 2 = x + 10 - 5x
   2x + 6 - 4x - 8 = x + 10 - 5x
2. Agrupar os termos semelhantes no lado esquerdo:
   (2x - 4x) + (6 - 8) = x + 10 - 5x
   -2x - 2 = x + 10 - 5x
3. Agrupar os termos semelhantes no lado direito:
   -2x - 2 = (x - 5x) + 10
   -2x - 2 = -4x + 10
4. **Isolar o termo com x$** (passar $-4x para o lado esquerdo e -2 para o direito):
   -2x + 4x = 10 + 2
   2x = 12
5. Calcular o valor final:
   x = \frac{12}{2}
   x = 6

Portanto, a solução da equação é $x = 6$.

Análise das Afirmações

Agora vamos verificar cada item proposto na questão com base na nossa resolução:

• I. A equação possui uma única solução real.
• Verdadeiro. Equações do 1º grau (ax + b = 0 onde a \neq 0) possuem sempre uma única raiz ou solução real. Neste caso, x = 6.
• II. A solução da equação é x=6.
• Verdadeiro. Conforme demonstrado no cálculo acima, o valor encontrado para x é exatamente 6.
• III. A equação não possui raiz real.
• Falso. Encontramos a raiz x = 6, que é um número real. Esta afirmação seria válida apenas se chegássemos a uma contradição impossível (ex: $0 = 5$) ou se fosse uma equação sem solução no conjunto dos reais.
• IV. A equação dada não tem grau definido.
• Falso. O grau de uma equação é determinado pela maior potência da incógnita. Aqui, a incógnita x está elevada a 1. Portanto, é uma equação do 1º grau.

Conclusão

As únicas afirmativas corretas são a I e a II.

Assim, a alternativa correta é a D.