Um número é chamado de número Eureka quando a soma de cada um de seus algarismos elevados às respectivas posições, contadas da esquerda para a direita, é igual ao próprio número. O número 89, por exemplo, é um número Eureka pois 8¹ + 9² = 89. A soma dos algarismos de 2N27, em que N é um algarismo da base decimal, sabendo que 2N27 é um número Eureka, é igual a:

Question

Um número é chamado de número Eureka quando a soma de cada um de seus algarismos elevados às respectivas posições, contadas da esquerda para a direita, é igual ao próprio número. O número 89, por exemplo, é um número Eureka pois 8¹ + 9² = 89. A soma dos algarismos de 2N27, em que N é um algarismo da base decimal, sabendo que 2N27 é um número Eureka, é igual a: A) 20 B) 15 C) 14 D) 18 E) 11

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Resolução do Problema

Entendendo o Conceito de Número Eureka

Um número é Eureka quando a soma de cada algarismo elevado à sua posição (da esquerda para direita) resulta no próprio número.

Exemplo dado:
$8^1 + 9^2 = 8 + 81 = 89$

Modelando o Problema

O número 2N27 tem 4 dígitos. Vamos identificar cada um:

Posição	Algarismo	Potência	Valor
1	2	$2^1$	2
2	N	$N^2$	$N^2$
3	2	$2^3$	8
4	7	$7^4$	2401

Montando a Equação

Para ser Eureka, a soma deve igualar o número:

2^1 + N^2 + 2^3 + 7^4 = \overline{2N27}

Substituindo os valores conhecidos:

2 + N^2 + 8 + 2401 = 2000 + 100N + 20 + 7

2411 + N^2 = 2027 + 100N

Reorganizando para forma quadrática:

N^2 - 100N + 384 = 0

Resolvendo a Equação Quadrática

Usando a fórmula de Bhaskara ( $\Delta = b^2 - 4ac$ ):

\Delta = (-100)^2 - 4(1)(384) = 10000 - 1536 = 8464

\sqrt{8464} = 92

As soluções são:

N = \frac{100 \pm 92}{2}

$N_1 = \frac{192}{2} = 96$ ❌ (não é dígito único)
$N_2 = \frac{8}{2} = 4$ ✅

Portanto, N = 4

Verificando

Com N = 4, o número é 2427:

$2^1 + 4^2 + 2^3 + 7^4 = 2 + 16 + 8 + 2401 = 2427$ ✓

Calculando a Soma dos Algarismos

Os algarismos de 2427 são: 2, 4, 2, 7

2 + 4 + 2 + 7 = 15

Análise das Alternativas

Alternativa	Valor	Status
20	✗	Incorreto
15	✓	Correto
14	✗	Incorreto
18	✗	Incorreto
11	✗	Incorreto

Alternativa B - 15

Explicação passo a passo