Um número natural de quatro algarismos possui as seguintes características: I.A soma de seus algarismos é 20. II.O algarismo das centenas é o dobro do algarismo das unidades. III. O algarismo das dezenas é igual à soma dos algarismos das unidades e das centenas. IV.O algarismo das milhares é 2 a mais que o algarismo das dezenas. Qual é esse número? Em um segmento de reta AB, um ponto C divide esse segmento internamente na razão 2:3. Um ponto D divide o mesmo segmento AB internamente na razão 3:5. Sabendo que a medida do segmento AB é 40 cm, a distância entre os pontos C e D é:

Question

Um número natural de quatro algarismos possui as seguintes características: I.A soma de seus algarismos é 20. II.O algarismo das centenas é o dobro do algarismo das unidades. III. O algarismo das dezenas é igual à soma dos algarismos das unidades e das centenas. IV.O algarismo das milhares é 2 a mais que o algarismo das dezenas. Qual é esse número? Em um segmento de reta AB, um ponto C divide esse segmento internamente na razão 2:3. Um ponto D divide o mesmo segmento AB internamente na razão 3:5. Sabendo que a medida do segmento AB é 40 cm, a distância entre os pontos C e D é: A) 8462 B) 8624 C) 8822 D) 8264

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Resolução de Questões Matemáticas

Vou resolver ambas as questões seguindo o protocolo geométrico e algébrico.

Questão 1: Número de Quatro Algarismos

Identificação dos Dados

Vamos representar os algarismos do número de quatro dígitos como:

Posição	Símbolo	Descrição
Milhares	$M$	Primeiro dígito da esquerda
Centenas	$C$	Segundo dígito
Dezenas	$D$	Terceiro dígito
Unidades	$U$	Último dígito

Modelagem das Condições

\text{Número} = M \times 1000 + C \times 100 + D \times 10 + U

Condições do problema:

Soma dos algarismos: $M + C + D + U = 20$
Centenas é dobro das unidades: $C = 2U$
Dezenas igual à soma das unidades e centenas: $D = U + C$
Milhares é 2 a mais que dezenas: $M = D + 2$

Cálculo Passo a Passo

Substituindo as relações em função de $U$ :

C = 2U

D = U + C = U + 2U = 3U

M = D + 2 = 3U + 2

Substituindo na soma total:

M + C + D + U = 20

(3U + 2) + 2U + 3U + U = 20

9U + 2 = 20

9U = 18

U = 2

Encontrando todos os algarismos:

Algarismo	Valor	Cálculo
Unidades ( $U$ )	2	Calculado acima
Centenas ( $C$ )	4	$2 \times 2 = 4$
Dezenas ( $D$ )	6	$3 \times 2 = 6$
Milhares ( $M$ )	8	$6 + 2 = 8$

Número formado: 8462

Verificação

Soma: $8 + 4 + 6 + 2 = 20$ ✓
Centenas (4) é dobro de unidades (2) ✓
Dezenas (6) = unidades (2) + centenas (4) ✓
Milhares (8) = dezenas (6) + 2 ✓

Questão 2: Divisão de Segmento de Reta

Visualização Geométrica

A ____________ C _ D ______________ B
    16 cm   1 cm          23 cm

Identificação das Razões

Ponto C divide AB na razão 2:3, ou seja:
$\frac{AC}{CB} = \frac{2}{3} \Rightarrow AC = \frac{2}{2+3} \times AB = \frac{2}{5} \times AB$

Ponto D divide AB na razão 3:5, ou seja:
$\frac{AD}{DB} = \frac{3}{5} \Rightarrow AD = \frac{3}{3+5} \times AB = \frac{3}{8} \times AB$

Cálculo das Distâncias

AB = 40 \text{ cm}

AC = \frac{2}{5} \times 40 = 16 \text{ cm}

AD = \frac{3}{8} \times 40 = 15 \text{ cm}

Distância entre C e D

Como ambos os pontos estão no mesmo segmento medidos a partir de A:

CD = |AC - AD| = |16 - 15| = 1 \text{ cm}

Análise Final

Questão	Resposta	Justificativa
1	Alternativa A	Sistema linear com 4 equações resolve para 8462
2	Alternativa D	Diferença entre frações de segmentos: $\|16-15\|=1$

Conceitos-Chave

Sistemas de equações: Transformar condições verbais em expressões matemáticas
Divisão interna de segmento: Usar razão $m:n$ significa dividir em $\frac{m}{m+n}$ do total
Verificação: Sempre checar se todas as condições são satisfeitas

Ambas as questões foram resolvidas aplicando álgebra básica e geometria fundamental de forma sistemática!

Explicação passo a passo