Um quebra-cabeça matemático consiste em três hastes e oito discos de vários diâmetros, que podem deslizar em qualquer haste. O objetivo do quebra-cabeça é mover toda a pilha para uma das outras hastes, obedecendo às seguintes regras:
Apenas um disco pode ser movido por vez.
Cada movimento consiste em pegar o disco superior de uma das pilhas e colocá-lo no topo de outra pilha ou em uma haste vazia.
Nenhum disco pode ser colocado sobre um disco que seja menor que ele.
Sob essas regras, qual é o número de diferentes distribuições dos oito discos nas três hastes que podem ser feitas?
8!
8³
3⁸
3·8! + 6·7! + 6·6! + 6·5! + 3!
(8 + 3)!

Question

Um quebra cabeça matemático consiste em três hastes e oito discos de vários diâmetros, que podem deslizar em qualquer haste. O objetivo do quebra cabeça é mover toda a pilha para uma das outras hastes, obedecendo às seguintes regras: Apenas um disco pode ser movido por vez. Cada movimento consiste em pegar o disco superior de uma das pilhas e colocá lo no topo de outra pilha ou em uma haste vazia. Nenhum disco pode ser colocado sobre um disco que seja menor que ele. Sob essas regras, qual é o número de diferentes distribuições dos oito discos nas três hastes que podem ser feitas? A) 8! B) 8³ C) 3⁸ D) 3·8! + 6·7! + 6·6! + 6·5! + 3! E) (8 + 3)!

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa (c) $3^8$ Análise da Questão O problema solicita o número total de configurações (distribuições) possíveis para 8 discos em 3 hastes, respeitando as regras das Torres de Hanói. Raciocínio Passo a Passo 1. Objeto de Contagem : Temos 8 discos distintos (devido aos diversos diâmetros) e 3 hastes distintas. 2. Liberdade de Escolha : Para montar qualquer configuração válida, precisamos decidir onde cada disco individual ficará. 3. Restrição de Ordem : A regra fundamental ("No disk may be placed on top of a disk that is smaller than it") impõe que, em qualquer haste ocupada, os discos devem estar estritamente ordenados do maior (base) para o menor (topo). 4. Independência : Essa restrição de ordem simplifica o problema. Se decidirmos que o Disco 1, o Disco 2 e o Disco 3 estão todos na Haste A, não há ambiguidade: eles ficarão automaticamente empilhados em ordem de tamanho. Não precisamos calcular permutações internas. 5. Aplicação do Princípio Multiplicativo : O 1º disco pode estar em qualquer uma das 3 hastes. O 2º disco também pode estar em qualquer uma das 3 hastes. ... O 8º disco pode estar em qualquer uma das 3 hastes. Como a escolha de cada disco é independente em relação à escolha da haste (a ordem vertical será corrigida automaticamente pela natureza dos tamanhos), multiplicamos as opções: $$ \underbrace{3 	imes 3 	imes 3 	imes \dots 	imes 3} {	ext{8 vezes}} = 3^8 $$ Comparação das Alternativas | Alternativa | Expressão | Significado | | : | : | : | | (a) | $8! \cdot 3!$ | Permutação total misturada. Incorreto. | | (b) | $8^3$ | Inverte base e expoente. Seria 3 discos em 8 hastes. Incorreto. | | (c) | $3^8$ | 3 opções para cada um dos 8 discos. CORRETO. | | (d) | Soma complexa | Tenta somar casos específicos sem generalização. Incorreto. | | (e) | $\frac{(8+3)!}{8! \cdot 3!}$ | Combinação com repetição (disposições de objetos iguais). Incorreto. | Portanto, a quantidade de estados possíveis é $3^8$.

Explicação passo a passo

Resumo da resposta

Análise da Questão

Raciocínio Passo a Passo

Comparação das Alternativas

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Alternativa	Expressão	Significado
(a)	$8! \cdot 3!$	Permutação total misturada. Incorreto.
(b)	$8^3$	Inverte base e expoente. Seria 3 discos em 8 hastes. Incorreto.
(c)	$3^8$	3 opções para cada um dos 8 discos. CORRETO.
(d)	Soma complexa	Tenta somar casos específicos sem generalização. Incorreto.
(e)	$\frac{(8+3)!}{8! \cdot 3!}$	Combinação com repetição (disposições de objetos iguais). Incorreto.