Alternativa B
Para resolver este problema, precisamos identificar se a ordem dos elementos importa ou não.
Análise Detalhada
O enunciado traz duas informações cruciais:
- "Não é permitido repetir o mesmo doce": Isso indica que estamos lidando com elementos distintos sem reposição.
- "A ordem de escolha não altera a composição da caixa": Esta é a chave do problema. Se você escolhe o chocolate primeiro e o brigadeiro depois, é a mesma caixa que escolher o brigadeiro primeiro e o chocolate depois. Quando a ordem não importa, utilizamos a Combinação Simples.
Se a ordem importasse (por exemplo, se a caixa tivesse posições específicas 1º, 2º e 3º), seria um caso de Arranjo. Como não importa, usamos a fórmula de combinação.
Cálculo Matemático
A fórmula da Combinação Simples (C_{n,p}) é dada por:
C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}
Onde:
- n é o total de itens disponíveis (10 doces).
- p é o número de itens a serem escolhidos (3 doces).
- ! denota fatorial (produto de todos os inteiros positivos até aquele número).
Substituindo os valores na fórmula:
C_{10,3} = \frac{10!}{3!(10-3)!}
C_{10,3} = \frac{10!}{3! \times 7!}
Podemos expandir o fatorial do numerador ($10!) até o maior fatorial presente no denominador ($7!) para simplificar a conta:
10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7!
Assim, a equação fica:
C_{10,3} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3! \times 7!}
Cancelamos o $7!$ de cima e de baixo:
C_{10,3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}
Calculamos o numerador e o denominador:
- Numerador: $10 \times 9 \times 8 = 720$
- Denominador: $3 \times 2 \times 1 = 6$
Realizamos a divisão final:
C_{10,3} = \frac{720}{6} = 120
Portanto, é possível formar 120 caixas diferentes.
Resposta Final: Alternativa B.