Uma caixa de papelão suas dimensões representadas na figura a seguir. A função V(x) que relaciona x com o volume da caixa e o respectivo volume para x=20 cm são

Alternativa d - V(x) = 30x^2 + 180x - 1200 e 14400 \, \text{cm}^3

Introdução

A questão envolve calcular a função volume de uma caixa de papelão e seu valor para x = 20 \, \text{cm}.

Desenvolvimento

A caixa é um prisma retangular, cujos volume é dado pela multiplicação de suas dimensões: altura, comprimento e largura.

• Dimensões:
  Altura = 30 \, \text{cm}
  Comprimento = (x + 10) \, \text{cm}
  Largura = (x - 4) \, \text{cm}

Análise

O volume V(x) é calculado como:
V(x) = 30 \times (x + 10) \times (x - 4)

1. Expansão do produto:
   Primeiro, multiplique (x + 10)(x - 4):
   (x + 10)(x - 4) = x^2 - 4x + 10x - 40 = x^2 + 6x - 40
2. Multiplicação pela altura:
   V(x) = 30(x^2 + 6x - 40) = 30x^2 + 180x - 1200
3. Cálculo para x = 20 \, \text{cm}:
   Substitua x = 20 na função:
   V(20) = 30(20)^2 + 180(20) - 1200 = 30(400) + 3600 - 1200 = 12000 + 3600 - 1200 = 14400 \, \text{cm}^3

Conclusão

A função volume é V(x) = 30x^2 + 180x - 1200 e para x = 20 \, \text{cm}, o volume é 14400 \, \text{cm}^3. Portanto, a alternativa correta é a d.