Uma empresa de software criou um algoritmo para converter códigos de produtos. A conversão é dada pela função: f(x) = 3x + 5, x ∈ R O setor de qualidade deseja saber se a função é injetora, sobrejetora ou bijetora para garantir que cada código de produto seja convertido de maneira única e que todos os possíveis códigos de produtos sejam cobertos pela conversão. Isso é importante para evitar ambiguidades e garantir que o algoritmo funcione corretamente para todos os produtos. Qual a classificação correta dessa função?

Alternativa A - Bijetora

Introdução

Esta questão envolve análise de funções matemáticas no contexto de algoritmos de conversão de códigos. Para classificar corretamente a função f(x) = 3x + 5, precisamos verificar três propriedades fundamentais.

Desenvolvimento

Análise da Função

Dada a função linear f(x) = 3x + 5 com domínio e contradomínio \mathbb{R}:

1. Verificação de Injetividade:

• Uma função é injetora quando entradas diferentes produzem saídas diferentes
• Se f(a) = f(b), então $3a + 5 = 3b + 5$
• Logo, $3a = 3b \Rightarrow a = b$
• Portanto, a função é injetora

2. Verificação de Sobrejetividade:

• Uma função é sobrejetora quando todo elemento do contradomínio tem pelo menos uma pré-imagem
• Para qualquer y \in \mathbb{R}, podemos encontrar x = \frac{y-5}{3} tal que f(x) = y
• Como existe solução para qualquer y, a função é sobrejetora

3. Conclusão sobre Bijectividade:

• Como a função é simultaneamente injetora e sobrejetora, ela é bijetora
• Isso significa que cada código de produto original é convertido em um único código novo, e todos os códigos possíveis podem ser alcançados

Análise

• Opção A (Correta): A função é bijetora pois satisfaz ambas as condições
• Opções B e C (Incorretas): Não são apenas injetoras ou apenas sobrejetoras
• Opção D: Embora tecnicamente verdadeira (se o contradomínio mudasse), não é a classificação principal solicitada
• Opção E (Incorreta): A função claramente se enquadra nas categorias estudadas

Conclusão

A função f(x) = 3x + 5 é bijetora quando definida entre \mathbb{R} e \mathbb{R}. No contexto do algoritmo de conversão de códigos, isso garante que cada código original tenha uma correspondência única e que todos os códigos possíveis possam ser gerados, evitando ambiguidades no sistema.