Uma empresa utiliza um modelo matemático para estimar o lucro mensal com base no número de unidades vendidas. No entanto, o modelo só é válido quando: o número de unidades vendidas é maior ou igual a 100, pois abaixo disso os custos fixos não são cobertos. o número de unidades vendidas é menor que 500, pois acima desse valor a fábrica ultrapassa sua capacidade produtiva e o modelo deixa de descrever corretamente os custos. Com base nessas condições, qual alternativa representa corretamente o domínio do modelo de lucro?

Question

Uma empresa utiliza um modelo matemático para estimar o lucro mensal com base no número de unidades vendidas. No entanto, o modelo só é válido quando:

o número de unidades vendidas é maior ou igual a 100, pois abaixo disso os custos fixos não são cobertos.

o número de unidades vendidas é menor que 500, pois acima desse valor a fábrica ultrapassa sua capacidade produtiva e o modelo deixa de descrever corretamente os custos.

Com base nessas condições, qual alternativa representa corretamente o domínio do modelo de lucro?

O modelo vale apenas para valores estritamente maiores que 100 e estritamente menores que 500.
O modelo vale para qualquer número real.
O modelo vale para valores entre 100 e 500, incluindo 100, mas não incluindo 500.
O modelo vale apenas para números inteiros entre 100 e 500.
O modelo vale apenas para valores estritamente inferiores a 100.

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa C O modelo vale para valores entre 100 e 500, incluindo 100, mas não incluindo 500. Análise da Questão O problema solicita a determinação do domínio de validade de um modelo matemático com base em duas restrições textuais. Para resolver, precisamos traduzir essas frases para a linguagem das desigualdades matemáticas. 1. Tradução das Condições Vamos analisar cada ponto do enunciado: Condição 1: "o número de unidades vendidas é maior ou igual a 100 " Isso significa que o valor mínimo permitido é 100 e ele está incluído. Matematicamente: $x \geq 100$ Em termos de intervalo: [100, ... (colchete indica inclusão) Condição 2: "o número de unidades vendidas é menor que 500 " Isso significa que o valor máximo permitido é próximo de 500, mas não chega a ser 500. Matematicamente: $x < 500$ Em termos de intervalo: ..., 500) (parêntese indica exclusão) 2. Construção do Domínio Unindo as duas condições, temos o intervalo que satisfaz ambas simultaneamente: $$ 100 \leq x < 500 $$ Isso representa todos os números que começam em 100 (incluído) e vão até 500 (excluído). Comparativo com as Alternativas | Alternativa | Descrição Matemática | Correta? | Por quê? | | : | : | : | : | | A | $100 < x < 500$ | ❌ | Exclui o 100, mas o texto diz "maior ou igual". | | B | $ \infty < x < +\infty$ | ❌ | Ignora as restrições de custo e capacidade. | | C | $100 \leq x < 500$ | ✅ | "Incluindo 100" ($\geq$) e "não incluindo 500" ($<$). | | D | Inteiros em $[100, 500]$ | ❌ | Restringe apenas a inteiros e inclui o 500 erroneamente. | | E | $x < 100$ | ❌ | Contradiz a primeira condição de cobertura de custos. | Conclusão A alternativa C é a única que respeita rigorosamente os operadores lógicos apresentados no texto: a inclusão do limite inferior (100) e a exclusão do limite superior (500).

Explicação passo a passo

Análise da Questão

1. Tradução das Condições

2. Construção do Domínio

Comparativo com as Alternativas

Conclusão

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Alternativa	Descrição Matemática	Correta?	Por quê?
A	$100 < x < 500$	❌	Exclui o 100, mas o texto diz "maior ou igual".
B	$-\infty < x < +\infty$	❌	Ignora as restrições de custo e capacidade.
C	$100 \leq x < 500$	✅	"Incluindo 100" ( $\geq$ ) e "não incluindo 500" ( $<$ ).
D	Inteiros em $[100, 500]$	❌	Restringe apenas a inteiros e inclui o 500 erroneamente.
E	$x < 100$	❌	Contradiz a primeira condição de cobertura de custos.