Uma mãe deseja que seus filhos tenham uma alimentação equilibrada e, por isso, consultou uma nutricionista, que lhe recomendou que eles consumam por dia, no mínimo, 10 mg de vitamina A, 70 mg de vitamina C e 250 mg de vitamina D. Mas essa mãe também está preocupada com os custos. Ela deseja oferecer aos filhos a dieta equilibrada, porém ao menor custo possível. Para ajudar nos cálculos, ela fez uma pesquisa sobre informações nutricionais de diferentes tipos de alimento. A função objetivo do dual do problema é

Alternativa D

Para encontrar a função objetivo do problema dual, precisamos aplicar as regras de transformação da dualidade em Programação Linear.

Análise do Problema Primal

O problema original descrito na imagem é de minimização de custos. Vamos identificar seus componentes principais:

1. Objetivo: Minimizar o custo total (Z).
2. Variáveis de Decisão (x): Representam as quantidades dos alimentos (x_1: leite, x_2: carne, etc.). Existem 4 variáveis.
3. Restrições: Existem 3 restrições, correspondentes às necessidades mínimas de vitaminas:

• Vitamina A \geq 10
• Vitamina C \geq 70
• Vitamina D \geq 250

A função objetivo do problema primal é dada pelo enunciado como:
\text{Min } Z = 2x_1 + 20x_2 + 25x_3 + 3x_4

Construindo o Problema Dual

A teoria da dualidade estabelece uma relação direta entre o problema primal e o seu dual:

• Tipo de Otimização: Se o Primal é de Minimização, o Dual será de Maximização.
• Variáveis do Dual: O número de variáveis no dual é igual ao número de restrições no primal. Como existem 3 restrições de vitaminas, o dual terá 3 variáveis (geralmente denotadas como y_1, y_2, y_3).
• Coeficientes da Função Objetivo: Os coeficientes que formam a função objetivo do dual são os limites das restrições do problema primal.

Passo a Passo da Transformação

1. Identificar os Limites das Restrições do Primal:

• Limite Vitamina A: 10
• Limite Vitamina C: 70
• Limite Vitamina D: 250

1. Definir as Variáveis do Dual:

• y_1: Valor associado à restrição da Vitamina A
• y_2: Valor associado à restrição da Vitamina C
• y_3: Valor associado à restrição da Vitamina D

1. Montar a Função Objetivo do Dual:
   Multiplicamos cada limite pela sua respectiva variável dual e somamos:
   \text{Max } W = 10y_1 + 70y_2 + 250y_3

Conclusão

Comparando nossa construção com as alternativas:

• As alternativas A, B e C possuem 4 variáveis ou funções incorretas, pois o dual deve ter 3 variáveis (igual ao número de restrições do primal).
• A alternativa E propõe Minimização, o que contradiz a regra de que o dual de um minimizador é um maximizador.
• A alternativa D apresenta corretamente a Maximização (\text{Max } W) com os coeficientes 10, 70 e 250 correspondendo aos requisitos nutricionais mínimos.

Portanto, a função objetivo correta é:
$\text{Max } W = 10y_1 + 70y_2 + 250y_3$