Uma raiz de uma função y=f(x) é o valor de x tal que f(x)=0. Há vários métodos de obtenção da raiz de uma função. Um deles é o método da bissecção. Dado um intervalo [a, b] contendo uma raiz de y=f(x), tem-se f(a).f(b)

Question

Uma raiz de uma função y=f(x) é o valor de x tal que f(x)=0. Há vários métodos de obtenção da raiz de uma função. Um deles é o método da bissecção. Dado um intervalo [a, b] contendo uma raiz de y=f(x), tem se f(a).f(b)<0. O método da bissecção consiste em dividir o intervalo [a, b] ao meio da média aritmética entre a e b, ou seja, x=(a+b)/2, gerando dois intervalos [a, x] e [x, b]. Em seguida, é considerado o intervalo que contém a raiz e o processo se repete até que se obtenha uma aproximação para a raiz seguindo um critério de parada definido previamente. Por meio do método da bissecção, qual é o valor de x obtido na 9ª iteração considerando a função f(x)= 3x²+5x+12 com uma raiz no intervalo [ 2, 1] e iniciando com k=0? A) x= 1,298452176 B) x= 1,312556709 C) x= 1,333007813 D) x= 1,373992451

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Alternativa C Para resolver esta questão, utilizaremos o conceito de Método da Bissecção aplicado à função quadrática fornecida. O objetivo é identificar qual das opções representa a melhor aproximação da raiz após 9 iterações. 1. Encontrando a Raiz Exata Antes de simular as iterações, podemos calcular o valor exato da raiz no intervalo dado usando a fórmula de Bhaskara para a função $f(x) = 3x^2 + 5x + 12$: $$x = \frac{ b \pm \sqrt{b^2 4ac}}{2a}$$ Substituindo $a = 3$, $b = 5$, $c = 12$: $$x = \frac{ 5 \pm \sqrt{5^2 4( 3)(12)}}{2( 3)}$$ $$x = \frac{ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{ 6}$$ $$x = \frac{ 5 \pm 13}{ 6}$$ As duas raízes são: $x 1 = \frac{8}{ 6} = 1,333...$ $x 2 = \frac{ 18}{ 6} = 3$ O intervalo informado é $[ 2, 1]$. Portanto, a raiz que nos interessa é $x = 1,33333...$ (que é igual a $ \frac{4}{3}$). 2. Estimativa do Erro Máximo O método da bissecção reduz o tamanho do intervalo pela metade a cada iteração. O erro máximo possível após $n$ iterações é dado por: $$Erro {max} = \frac{b a}{2^n}$$ No nosso caso: Intervalo inicial $[a, b] = [ 2, 1]$, logo $b a = 1$. Número de iterações $n = 9$. $$Erro {max} = \frac{1}{2^9} = \frac{1}{512} \approx 0,00195$$ Isso significa que o valor encontrado na 9ª iteração deve estar a no máximo 0,00195 unidades de distância da raiz exata ($ 1,33333$). 3. Análise das Alternativas Vamos verificar quais alternativas estão dentro da faixa de erro aceitável: Faixa Permitida: Entre $ 1,33333 0,00195$ e $ 1,33333 + 0,00195$. Intervalo Aceitável: $[ 1,33528, 1,33138]$. Comparando com as opções: | Alternativa | Valor | Distância da Raiz Exata ($| 1,33333 x|$) | Status | | : | : | : | : | | A | 1,298... | 0,035 | Fora do erro | | B | 1,312... | 0,021 | Fora do erro | | C | 1,3330... | 0,0003 | Dentro do erro | | D | 1,373... | 0,040 | Fora do erro | A única alternativa que está suficientemente próxima do valor exato da raiz, considerando a convergência esperada após 9 iterações, é a letra C . Conclusão: Após 9 iterações, o método da bissecção já forneceu uma aproximação muito precisa. A alternativa C ($x = 1,333007813$) é a única que respeita a precisão teórica do método para este número de passos.

Alternativa	Valor	Distância da Raiz Exata ( $\|-1,33333 - x\|$ )	Status
A	-1,298...	~0,035	Fora do erro
B	-1,312...	~0,021	Fora do erro
C	-1,3330...	~0,0003	Dentro do erro
D	-1,373...	~0,040	Fora do erro

Explicação passo a passo

1. Encontrando a Raiz Exata

2. Estimativa do Erro Máximo

3. Análise das Alternativas

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