Uma raiz de uma função y=f(x) é tal que f(x)=0. Há vários métodos de obtenção da raiz de uma função. Um deles é o método da bissecção. Dado um intervalo [a, b] contendo uma raiz de f(x), tem-se f(a)·f(b)<0. O método da bissecção consiste em dividir o intervalo [a, b] ao meio por meio da média aritmética entre a e b, ou seja, x=(a+b)/2, gerando dois intervalos [a, x] e [x, b]. Em seguida, é considerado o intervalo que contém a raiz e o processo se repete até que se obtenha uma aproximação para a raiz segundo um critério de parada definido previamente. Por meio do método da bissecção, qual é o valor de x obtido na 6ª iteração considerando a função f(x)=x³-x-1 com uma raiz no intervalo [1, 2] e iniciando em k=0?

Alternativa B

A questão pede o valor de x obtido na iteração correspondente a k=6, utilizando o Método da Bissecção, começando com o índice k=0. Isso significa que devemos calcular os pontos médios sequencialmente até atingir o índice k=6.

Passo a Passo do Cálculo

A função dada é f(x) = x^3 - x - 1 e o intervalo inicial é [1, 2].
Verificação dos sinais nas extremidades:

• f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1 (Negativo)
• f(2) = 2^3 - 2 - 1 = 5 (Positivo)
  Como há mudança de sinal, existe uma raiz no intervalo.

Vamos construir a tabela das iterações onde x_k = \frac{a + b}{2}:

Análise Detalhada

1. Interpretação do Índice: O enunciado especifica "iniciando k=0". Portanto, a primeira iteração calculada é k=0, a segunda é k=1, e assim sucessivamente. Para encontrar o valor solicitado na "6ª iteração" conforme as opções disponíveis, devemos considerar o cálculo onde o índice é $k=6$.
2. Cálculo Final: Na linha k=6, temos os limites a = 1,3125 e b = 1,328125.
   x_6 = \frac{1,3125 + 1,328125}{2} = \frac{2,640625}{2} = 1,3203125

Este valor corresponde exatamente à alternativa B.

Conclusão

O valor de x obtido na iteração k=6 é 1,3203125.

Alternativa B