Alternativa C - x_1=1,054157; x_2=1,679229; x_3=-2,244462
Para resolver esta questão, é necessário aplicar o Método de Gauss-Seidel, um método iterativo usado para resolver sistemas de equações lineares. O ponto crucial aqui é verificar se o método converge para a solução.
Análise da Convergência
O método de Gauss-Seidel garante convergência se a matriz do sistema for diagonalmente dominante estritamente. Isso significa que, em cada linha, o valor absoluto do elemento da diagonal principal deve ser maior que a soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha.
Analisando a matriz de coeficientes original:
A = \begin{bmatrix}
1 & 8 & 2 \\
15 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 3
\end{bmatrix}
- Linha 1: |1| < |8| + |2| ($1 < 10$) \rightarrow Não dominante
- Linha 2: |1| < |15| + |2| ($1 < 17$) \rightarrow Não dominante
- Linha 3: |3| > |1| + |1| ($3 > 2$) \rightarrow Dominante
Como as duas primeiras linhas não satisfazem a condição, o método aplicado diretamente nesta ordem divergiria (os valores explodiriam). Para obter um resultado, devemos permutar as linhas para tornar a matriz diagonalmente dominante.
Preparação do Sistema
Trocamos a 1ª e a 2ª equações para posicionar os maiores coeficientes na diagonal:
- $15x_1 + x_2 + 2x_3 = 13$ ($15 > 1 + 2$)
- x_1 + 8x_2 + 2x_3 = 10 ($8 > 1 + 2$)
- x_1 + x_2 + 3x_3 = -4 ($3 > 1 + 1$)
Agora a matriz é estritamente diagonalmente dominante e o método converge.
Resolução Numérica
Realizando as iterações (iniciando com x^{(0)} = 0) até atingir a precisão solicitada ($10^{-2}$):
- As iterações aproximam os valores progressivamente.
- A solução exata do sistema é aproximadamente x_1 \approx 1,054, x_2 \approx 1,679, x_3 \approx -2,244.
Comparando com as alternativas:
- Alternativa A: Valores incorretos.
- Alternativa B: Valores incorretos.
- Alternativa C: Valores muito próximos da solução exata ($1,054157; 1,679229; -2,244462$).
- Alternativa D: Incorreta. Embora o sistema original não esteja pronto, é possível resolvê-lo permutando as linhas, prática padrão em análise numérica.
Portanto, a alternativa que apresenta os resultados obtidos pelo processo corrigido é a C.