Ao tentar calcular $\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^2 - y^2}{x - y}$, encontramos uma indeterminação 0/0. Qual é o valor real desse limite?

Alternativa C

O problema solicita o cálculo de um limite de função de duas variáveis que, inicialmente, apresenta uma indeterminação do tipo $0/0$.

Para resolver essa indeterminação, utilizamos a técnica de fatoração sugerida no enunciado, especificamente a diferença de quadrados.

No nosso caso, aplicamos isso ao numerador x^2 - y^2:

Análise Detalhada

• Substituição direta: Ao substituir x=1 e y=1 na fração original, obtemos \frac{1^2 - 1^2}{1 - 1} = \frac{0}{0}, confirmando a indeterminação.
• Fatoração: Reescrevemos o limite utilizando a identidade algébrica:
  \lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{(x - y)(x + y)}{x - y}
• Simplificação: Como estamos calculando um limite, consideramos pontos próximos a (1,1) onde x \neq y. Assim, podemos cancelar o fator comum (x - y) no numerador e no denominador.
  \lim_{(x,y)\to(1,1)} (x + y)
• Cálculo Final: Com a indeterminação eliminada, realizamos a substituição dos valores novamente:
  1 + 1 = 2

Portanto, o valor real do limite é 2.

Conclusão

A alternativa correta é a C, pois após a simplificação algébrica, o limite converge para o valor 2.