Para calcular a área entre as curvas y = x e y = x² no intervalo [0, 1], onde x ≥ x², qual integral deve ser calculada?

Alternativa B

Para encontrar a área entre duas curvas, utilizamos o conceito fundamental de que a área é representada pela integral da função que se encontra no topo (maior valor) menos a função que se encontra na base (menor valor), dentro dos limites do intervalo especificado.

No problema apresentado, temos duas funções:

• Função superior: y = x
• Função inferior: y = x^2

O enunciado já fornece a pista crucial ao afirmar que, no intervalo [0, 1], vale a condição x \geq x^2. Isso confirma que a reta y = x está geometricamente acima da parábola y = x^2 nesse trecho.

Análise Detalhada

• Fórmula Geral: A área A entre duas funções f(x) e g(x), onde f(x) \geq g(x) no intervalo [a, b], é calculada por:
  A = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx
• Identificação dos Termos:
• Limite inferior (a): $0$
• Limite superior (b): $1$
• Função "de cima" (f(x)): x
• Função "de baixo" (g(x)): x^2
• Montagem da Integral: Ao substituir os valores na fórmula, obtemos a expressão exata da alternativa B:
  \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx
• Por que as outras estão erradas?
• Alternativa A: Inverte a ordem (x^2 - x), o que resultaria em um valor negativo, pois estamos subtraindo o maior pelo menor.
• Alternativa C: Some as funções em vez de subtraí-las, o não representa a diferença de áreas verticais.
• Alternativa D: Multiplica as funções, o que não tem significado geométrico direto para cálculo de área entre curvas.

Portanto, a integral correta para representar essa área é aquela que subtrai a função quadrática da função linear no intervalo de 0 a 1.