Calcule a integral $\int \frac{x^3}{\sqrt{9+x^2}} dx$ seguindo as orientações:

Question

Calcule a integral $\int \frac{x^3}{\sqrt{9+x^2}} dx$ seguindo as orientações: 1. Escolha e simplifique a substituição utilizando as identidades e definições trigonométricas; 2. Aplicando as propriedades e métodos, resolva a integral; 3. Retorne a variável independente.

Sapien IA · Accepted Answer

Resposta da Questão Resultado Final: $$\frac{1}{3}\sqrt{9+x^2}(x^2 18) + C$$ Esta questão solicita o cálculo de uma integral definida pelo método de substituição trigonométrica , especificamente para radicais do tipo $\sqrt{a^2 + x^2}$. Desenvolvimento Didático Para resolver a integral $$\int \frac{x^3}{\sqrt{9+x^2}} dx$$, seguiremos os passos indicados no enunciado da imagem: 1. Escolha da Substituição Observe o termo sob a raiz quadrada no denominador: $\sqrt{9+x^2}$. Este formato corresponde ao Caso II apresentado na tabela da questão ($\sqrt{a^2 + x^2}$), onde: $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$ A substituição recomendada é: $$x = 3 	an	heta$$ 2. Aplicação das Propriedades Precisamos encontrar o diferencial $dx$ e simplificar o radical. Diferencial: Derivando $x = 3 	an	heta$, obtemos: $$dx = 3 \sec^2	heta \, d	heta$$ Simplificação do Radical: $$\sqrt{9+x^2} = \sqrt{9 + (3	an	heta)^2} = \sqrt{9(1+	an^2	heta)}$$ Usando a identidade trigonométrica $1 + 	an^2	heta = \sec^2	heta$: $$\sqrt{9\sec^2	heta} = 3\sec	heta$$ 3. Resolução da Integral Substituímos todos os termos na integral original: $$ \int \frac{(3	an	heta)^3}{3\sec	heta} \cdot (3\sec^2	heta) \, d	heta $$ Simplificando os termos constantes ($3^3 / 3 \cdot 3 = 27$) e os termos trigonométricos ($\frac{\sec^2	heta}{\sec	heta} = \sec	heta$): $$ 27 \int 	an^3	heta \sec	heta \, d	heta $$ Para integrar, reescrevemos $	an^3	heta$ como $	an^2	heta \cdot 	an	heta$ e usamos a identidade $	an^2	heta = \sec^2	heta 1$: $$ 27 \int (\sec^2	heta 1) \sec	heta 	an	heta \, d	heta $$ Agora fazemos uma substituição algébrica interna para facilitar a integração. Seja $u = \sec	heta$, então $du = \sec	heta 	an	heta \, d	heta$: $$ 27 \int (u^2 1) \, du $$ Integrando em relação a $u$: $$ 27 \left( \frac{u^3}{3} u ight) + C = 9u^3 27u + C $$ 4. Retorno à Variável Independente Sabemos que $u = \sec	heta$. Precisamos expressar isso em função de $x$. Da relação inicial $x = 3 	an	heta$, temos $	an	heta = \frac{x}{3}$. Pelo triângulo retângulo ou identidades, sabemos que: $$\sec	heta = \sqrt{1 + 	an^2	heta} = \sqrt{1 + \left(\frac{x}{3}ight)^2} = \sqrt{\frac{9+x^2}{9}} = \frac{\sqrt{9+x^2}}{3}$$ Substituindo $u$ na resposta obtida: $$ 9\left(\frac{\sqrt{9+x^2}}{3}ight)^3 27\left(\frac{\sqrt{9+x^2}}{3}ight) + C $$ Desenvolvendo as potências: $$ 9 \frac{(9+x^2)^{3/2}}{27} 9\sqrt{9+x^2} + C $$ $$ \frac{1}{3}(9+x^2)\sqrt{9+x^2} 9\sqrt{9+x^2} + C $$ Colocando $\sqrt{9+x^2}$ em evidência: $$ \sqrt{9+x^2} \left[ \frac{1}{3}(9+x^2) 9 ight] + C $$ $$ \sqrt{9+x^2} \left[ 3 + \frac{x^2}{3} 9 ight] + C $$ $$ \sqrt{9+x^2} \left[ \frac{x^2}{3} 6 ight] + C $$ $$ \frac{1}{3}\sqrt{9+x^2}(x^2 18) + C $$

Explicação passo a passo

Resumo da resposta

Resposta da Questão

Desenvolvimento Didático

1. Escolha da Substituição

2. Aplicação das Propriedades

3. Resolução da Integral

4. Retorno à Variável Independente

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