Alternativa A
A alternativa correta é a A, pois a equação diferencial apresentada possui raízes reais e distintas que geram a solução fornecida.
Para resolver equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes (como ay'' + by' + cy = 0), utilizamos a equação característica associada.
Passo a Passo da Resolução
- Identificar a equação característica:
Substituímos as derivadas pela variável r elevada à potência correspondente (onde y'' \rightarrow r^2, y' \rightarrow r, y \rightarrow 1).
Para a equação y'' + y' - 6y = 0, temos:
r^2 + r - 6 = 0 - Encontrar as raízes:
Utilizamos a fórmula de Bhaskara ou fatoração direta. Neste caso, a fatoração é mais simples:
(r + 3)(r - 2) = 0
As raízes são:
r_1 = 2 \quad \text{e} \quad r_2 = -3 - Construir a solução geral:
Quando as raízes são reais e distintas (r_1 \neq r_2), a solução geral é dada por:
y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}
Substituindo os valores encontrados:
y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x}
Isso confirma exatamente o que está escrito na Alternativa A.
Análise dos Erros nas Outras Alternativas
| Alternativa | Equação Diferencial | Erro Encontrado |
|---|
| B | $3y'' + y' - y = 0$ | As raízes não seriam \pm 1/6. O discriminante seria \Delta = 13, resultando em raízes irracionais \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{6}. |
| C | y'' + 4y' + 4y = 0 | Possui raízes iguais (duplas). A solução correta seria y = C_1 e^{-2x} + C_2 x e^{-2x}. |
| D | y'' - 9y = 0 | Possui raízes distintas (\pm 3). A solução correta seria y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x}. O termo x na alternativa indica erro de confusão com raiz dupla. |
| E | y'' - 10y' + 25y = 0 | Possui raiz dupla (r=5). Falta o termo x multiplicando a segunda constante (C_2 x e^{5x}). |