Uma função é considerada solução de um equação diferencial se, ao trocarmos a função e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade de soluções, caso nada uma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial. Considere a equação diferencial 2y y' = 3x. Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).

Alternativa A

Para resolver esta questão, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial dada e depois verificar qual constante de integração (C) satisfaz cada condição inicial apresentada nas afirmativas.

Análise Detalhada

1. Resolução da Equação Diferencial

A equação fornecida é:
2y y' = 3x

Podemos reescrever y' como \frac{dy}{dx} e usar o método de separação de variáveis:
2y \frac{dy}{dx} = 3x
2y \, dy = 3x \, dx

Integramos ambos os lados:
\int 2y \, dy = \int 3x \, dx

Aplicando as regras de integral:
y^2 = \frac{3}{2}x^2 + K

Para facilitar a comparação com as expressões do enunciado ($2y^2 - 3x^2$), multiplicamos toda a equação por 2:
2y^2 = 3x^2 + 2K
2y^2 - 3x^2 = C

Onde C = 2K é uma constante arbitrária. Esta é a família de curvas que representa as soluções gerais da equação. Agora vamos testar cada caso.

2. Verificação das Afirmativas

• Item I: Para y(0) = 1, temos que $2y^2 - 3x^2 = 2$ é solução.
• Substituímos x = 0 e y = 1 na equação geral:
  2(1)^2 - 3(0)^2 = C
  2 - 0 = C \Rightarrow C = 2
• A expressão resultante é $2y^2 - 3x^2 = 2$.
• Resultado: VERDADEIRO (V)
• Item II: Para y(1) = 2, temos que $2y^2 - 3x^2 = 5$ é solução.
• Substituímos x = 1 e y = 2:
  2(2)^2 - 3(1)^2 = C
  2(4) - 3(1) = C
  8 - 3 = C \Rightarrow C = 5
• A expressão resultante é $2y^2 - 3x^2 = 5$.
• Resultado: VERDADEIRO (V)
• Item III: Para y(2) = -1, temos que $2y^2 - 3x^2 = -10$ é solução.
• Substituímos x = 2 e y = -1:
  2(-1)^2 - 3(2)^2 = C
  2(1) - 3(4) = C
  2 - 12 = C \Rightarrow C = -10
• A expressão resultante é $2y^2 - 3x^2 = -10$.
• Resultado: VERDADEIRO (V)
• Item IV: Para y(3) = 0, temos que $2y^2 - 3x^2 = 27$ é solução.
• Substituímos x = 3 e y = 0:
  2(0)^2 - 3(3)^2 = C
  0 - 3(9) = C
  -27 = C
• A expressão correta deveria ser $2y^2 - 3x^2 = -27$. O item afirma que é 27 (positivo).
• Resultado: FALSO (F)

3. Conclusão

A sequência correta das afirmativas é: V, V, V, F.

Comparando com as alternativas:

• A: V, V, V, F (Correta)
• B: V, F, V, F
• C: F, V, V, F
• D: F, V, V, V
• E: V, V, F, F