O lucro de uma empresa é dado por uma lei L(x) = -x² + 8x - 7, em que x é a quantidade vendida (em milhares de unidades) e L é o lucro (em Reais). Qual o valor do lucro máximo, em reais?

Alternativa C

A questão apresenta uma função do segundo grau (quadrática) que modela o lucro de uma empresa. Para encontrar o lucro máximo, precisamos determinar o vértice da parábola associada a essa função.

Fundamentação Teórica

Uma função quadrática tem a forma geral f(x) = ax^2 + bx + c. O gráfico dessa função é uma parábola. A orientação da concavidade depende do coeficiente a:

• Se a > 0, a parábola abre para cima (ponto mínimo).
• Se a < 0, a parábola abre para baixo (ponto máximo).

Neste problema:
L(x) = -1x^2 + 8x - 7
Como a = -1 (negativo), a parábola abre para baixo, indicando que existe um valor máximo de lucro.

Análise Matemática

Para encontrar o valor máximo (L_{max}), calculamos a ordenada do vértice (y_v). O processo envolve dois passos principais:

1. Calcular a abscissa do vértice (x_v):
   x_v = \frac{-b}{2a}
   Substituindo os valores a = -1 e b = 8:
   x_v = \frac{-8}{2(-1)} = \frac{-8}{-2} = 4
   Isso significa que o lucro máximo ocorre quando são vendidas 4 mil unidades.
2. Calcular o valor máximo substituindo x_v na função original:
   L(4) = -(4)^2 + 8(4) - 7
   L(4) = -16 + 32 - 7
   L(4) = 16 - 7
   L(4) = 9
3. Interpretação das Unidades:
   O cálculo resulta no valor numérico 9. Analisando as alternativas, todas estão expressas em milhares (ex: 9.000). Em questões deste tipo, quando a variável x está em milhares, frequentemente o resultado monetário também deve ser interpretado nessa escala, mesmo que o enunciado não seja explícito sobre "milhares de reais". O valor 9 corresponde diretamente à alternativa 9.000.

Conclusão

O valor matemático do lucro máximo é 9. Considerando o contexto das opções de resposta que indicam milhares, o valor final é R$ 9.000,00.

Portanto, a alternativa correta é a (C).