Alternativa A
A questão aborda a resolução de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. O método padrão para encontrar a solução envolve a construção da equação característica associada à equação diferencial.
Para uma equação na forma ay'' + by' + cy = 0, escrevemos a equação quadrática ar^2 + br + c = 0. As raízes dessa equação determinam a estrutura da solução geral y(x).
Análise das Alternativas
Abaixo, verificamos cada opção aplicando o método da equação característica:
- Alternativa A (Correta):
- Equação: y'' + y' - 6y = 0
- Equação Característica: r^2 + r - 6 = 0
- Raízes: Fatorando (r + 3)(r - 2) = 0, temos r_1 = 2 e r_2 = -3.
- Solução Geral: Como as raízes são reais e distintas, a solução é y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}.
- Resultado: y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x}
- Esta alternativa está correta.
- Alternativa B (Incorreta):
- Equação: $3y'' + y' - y = 0$
- Equação Característica: $3r^2 + r - 1 = 0$
- Raízes: Usando a fórmula de Bhaskara, as raízes não são simples (\frac{-1 \pm \sqrt{13}}{6}). A alternativa sugere raízes \pm 1/6, o que é falso.
- Alternativa C (Incorreta):
- Equação: y'' + 4y' + 4y = 0
- Equação Característica: r^2 + 4r + 4 = 0 \Rightarrow (r + 2)^2 = 0
- Raízes: Existe uma raiz repetida r = -2.
- Solução Correta: Para raiz repetida, usa-se y = C_1 e^{rx} + C_2 x e^{rx}. Logo, y = C_1 e^{-2x} + C_2 x e^{-2x}. A alternativa apresenta raízes distintas erradas.
- Alternativa D (Incorreta):
- Equação: y'' - 9y = 0
- Equação Característica: r^2 - 9 = 0 \Rightarrow r = \pm 3
- Raízes: Reais e distintas ($3$ e -3).
- Solução Correta: y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x}. A alternativa apresenta a forma de raiz repetida erroneamente aplicada.
- Alternativa E (Incorreta):
- Equação: y'' - 10y' + 25y = 0
- Equação Característica: r^2 - 10r + 25 = 0 \Rightarrow (r - 5)^2 = 0
- Raízes: Raiz repetida r = 5.
- Solução Correta: Deve conter o termo x multiplicativo: y = C_1 e^{5x} + C_2 x e^{5x}. A alternativa esquece o fator x.
Conclusão
A única equação diferencial resolvida corretamente em seus respectivos casos (raízes distintas, raiz repetida ou erro de cálculo) é a apresentada na Alternativa A.