Determine o volume do sólido delimitado pelo parabolóide z = 16 - x² - 2y² e acima do quadrado R = [0, 2] x [0, 2].

Question

Determine o volume do sólido delimitado pelo parabolóide z = 16 x² 2y² e acima do quadrado R = [0, 2] x [0, 2]. A) 24 B) 48 C) 16 D) 64 E) 32

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa B Para determinar o volume do sólido descrito, utilizamos o conceito de integral dupla . O volume $V$ sob uma superfície $z = f(x, y)$ e sobre uma região $R$ no plano $xy$ é dado pela fórmula: $$V = \iint R f(x, y) \, dA$$ Análise do Problema O enunciado fornece os seguintes dados: Função da superfície: $z = 16 x^2 2y^2$ Região de integração ($R$): O quadrado definido por $0 \leq x \leq 2$ e $0 \leq y \leq 2$. Assim, montamos a integral iterada com limites constantes: $$V = \int {0}^{2} \int {0}^{2} (16 x^2 2y^2) \, dx \, dy$$ Passo 1: Integração em relação a $x$ Primeiro, integramos considerando $y$ como constante: $$\int {0}^{2} (16 x^2 2y^2) \, dx = \left[ 16x \frac{x^3}{3} 2y^2x \right] {0}^{2}$$ Substituindo os limites ($x=2$ e $x=0$): $$= \left( 16(2) \frac{2^3}{3} 2y^2(2) \right) (0)$$ $$= 32 \frac{8}{3} 4y^2$$ $$= \frac{96}{3} \frac{8}{3} 4y^2 = \frac{88}{3} 4y^2$$ Passo 2: Integração em relação a $y$ Agora, integramos o resultado anterior em relação a $y$, de 0 a 2: $$V = \int {0}^{2} \left( \frac{88}{3} 4y^2 \right) \, dy$$ Calculando a primitiva: $$= \left[ \frac{88}{3}y \frac{4y^3}{3} \right] {0}^{2}$$ Substituindo os limites ($y=2$ e $y=0$): $$= \left( \frac{88}{3}(2) \frac{4(2)^3}{3} \right) 0$$ $$= \frac{176}{3} \frac{32}{3}$$ $$= \frac{144}{3}$$ $$= 48$$ Conclusão O cálculo do volume resulta exatamente em 48 unidades de volume . Comparando com as opções apresentadas na imagem, a resposta correta é a Alternativa B .

Explicação passo a passo

Análise do Problema

Passo 1: Integração em relação a $x$

Passo 2: Integração em relação a $y$

Conclusão

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