Adotando esses dados, responda às seguintes questões: a média, a mediana e a variância do conjunto de valores apresentados são, respectivamente.

Alternativa D - 4,4; 4,5 e 3,7

Para resolver esta questão, precisamos calcular três medidas estatísticas fundamentais: média, mediana e variância. Vamos analisar os dados fornecidos na tabela passo a passo.

Dados Organizados

Primeiro, listamos os 16 valores ordenados crescentemente para facilitar os cálculos:
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7
Total de elementos (n) = 16.

1. Cálculo da Média (\bar{x})

A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de elementos.

• Soma (\sum x): $1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 = 70$
• Cálculo: \bar{x} = \frac{70}{16} = 4,375

Arredondando para uma casa decimal, temos 4,4. Isso já nos permite descartar as alternativas A, B e C, restando apenas D e E.

2. Cálculo da Mediana (Md)

A mediana é o valor que divide o conjunto ordenado ao meio. Como temos 16 dados (um número par), a mediana será a média aritmética entre o 8º e o 9º valor.

• Posição 8: 4
• Posição 9: 5
• Cálculo: Md = \frac{4 + 5}{2} = 4,5

Ambas as alternativas restantes (D e E) apresentam a mediana correta. Precisamos calcular a variância para decidir.

3. Cálculo da Variância (s^2)

Utilizamos a fórmula da variância amostral (indicada pela fórmula na imagem com denominador n-1). Uma forma prática é:
s^2 = \frac{\sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n}}{n - 1}

• Soma dos quadrados (\sum x^2):
  $1^2 + 2^2(2) + 3^2(3) + 4^2(2) + 5^2(3) + 6^2(2) + 7^2(3)$
  = 1 + 8 + 27 + 32 + 75 + 72 + 147 = 362
• Aplicação na fórmula:
  Numerador: $362 - \frac{70^2}{16} = 362 - \frac{4900}{16} = 362 - 306,25 = 55,75$
  Denominador: n - 1 = 16 - 1 = 15
• Resultado: s^2 = \frac{55,75}{15} \approx 3,716

Arredondando para uma casa decimal, obtemos 3,7.

Conclusão

Comparando nossos resultados com as alternativas:

• Média: 4,4
• Mediana: 4,5
• Variância: 3,7

Esses valores correspondem exatamente à Alternativa D.