Alternativa D
O objetivo do exercício é encontrar a taxa de juros mensal necessária para duplicar um capital em um prazo específico utilizando juros compostos.
Primeiro, precisamos alinhar as unidades de tempo. Como a taxa solicitada é mensal, o período de 8 anos deve ser convertido para meses:
t = 8 \text{ anos} \times 12 \text{ meses/ano} = 96 \text{ meses}
A fórmula padrão para juros compostos é dada por:
M = C \cdot (1 + i)^t
Onde:
- M (Montante) = R$ 60.000,00
- C (Capital) = R$ 30.000,00
- t (Tempo) = 96 meses
- i (Taxa) = incógnita
Substituindo os valores na equação:
60.000 = 30.000 \cdot (1 + i)^{96}
Dividimos ambos os lados por 30.000 para simplificar:
2 = (1 + i)^{96}
Para isolar a taxa i, elevamos a equação à potência de \frac{1}{96}:
1 + i = 2^{\frac{1}{96}}
i = 2^{\frac{1}{96}} - 1
Realizando o cálculo numérico:
2^{\frac{1}{96}} \approx 1,007247
i \approx 1,007247 - 1
i \approx 0,007247
Convertendo para porcentagem e arredondando para três casas decimais:
i \approx 0,725\%
Análise
- Conversão de Unidades: O erro mais frequente nesta questão é esquecer de transformar anos em meses. Se usássemos t=8, o resultado seria incorreto.
- Relação Duplo: Quando o capital dobra, a relação entre Montante e Capital é sempre igual a 2. Isso permite simplificar a equação para $2 = (1+i)^t$.
- Cálculo de Raiz N-ésima: Resolver (1+i)^{96} = 2 exige calcular a raiz 96ª de 2, ou elevar 2 à potência de $1/96$.
- Verificação: Uma estimativa rápida usando a "Regra dos 72" (onde $72 / \text{taxa} \approx \text{tempo}) sugeriria $72 / 96 = 0,75\%. Como a regra é uma aproximação e juros compostos reais exigem taxas ligeiramente menores para o mesmo efeito em prazos longos, o valor exato calculado ($0,725\%) confirma que esta é a opção correta, descartando a próxima mais próxima ($0,754\%).
Portanto, a taxa mensal aproximada é 0,725%.