Sobre o estimador de MQO para a inclinação da reta de regressão linear, dado por β̂₁, assinale a alternativa correta:

Resposta

Alternativa A

Justificativa Didática

A questão aborda o conceito fundamental de Regressão Linear Simples utilizando o método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO). O objetivo é encontrar a melhor linha reta que descreva a relação entre duas variáveis: uma variável independente (X) e uma variável dependente (Y).

1. O que é \widehat{\beta_1}?

O coeficiente angular (ou inclinação) da reta de regressão, denotado por \widehat{\beta_1}, mede a mudança média na variável dependente (Y) para cada unidade de mudança na variável independente (X).

2. A Fórmula Correta

A fórmula teórica para calcular o estimador da inclinação via MQO é dada pela razão entre a covariância amostral e a variância amostral de X:

Onde:

• x_i e y_i: são os valores observados das variáveis.
• \overline{x} e \overline{y}: são as médias das variáveis X e Y.
• O numerador representa a soma dos produtos dos desvios (covariância não padronizada).
• O denominador representa a soma dos quadrados dos desvios de X (variância não padronizada multiplicada por n).

3. Análise da Imagem

Embora a imagem esteja parcialmente cortada à direita, a estrutura visível na Alternativa A corresponde ao início da fórmula padrão:

• Ela inicia com a soma \sum (x_i - \overline{x}).
• Embora faltassem os termos (y_i - \overline{y}) no numerador e o quadrado no denominador devido ao corte, esta é a única alternativa que segue a estrutura algébrica correta de comparação entre desvios de X e Y sem introduzir variáveis incorretas (como u na B ou \widehat{x} na C).

Portanto, a alternativa que representa corretamente o estimador de MQO para a inclinação é a A.