A empresa “TechTab” está envolvida na produção e venda de tablets inovadores. A partir da análise do desempenho financeiro de seu produto, a empresa identificou que os custos de produção e a receita de vendas podem ser modelados por funções. O custo total (em milhares de reais) para produzir x unidades de tablets é representado pela função C(x) = 1, 4x + 2. A receita total (em milhares de reais) gerada pela venda de x unidades é dada por R(x) = - 0, 2x² + 5x. Sabemos que o Lucro é dado pela diferença entre a Receita e o Custo, ou seja: L(x) = R(x) - C(x). Com base nessas informações, assinale a alternativa correta:

Alternativa A

Para resolver esta questão, precisamos construir a função do lucro e analisar seus pontos principais, como o lucro máximo e os valores para quantidades específicas.

Análise dos Dados

Primeiro, vamos identificar as funções dadas no enunciado (lembrando que os valores estão em milhares de reais):

• Função Custo: $C(x) = 1,4x + 2$
• Função Receita: $R(x) = -0,2x^2 + 5x$
• Função Lucro: $L(x) = R(x) - C(x)$

Desenvolvimento

1. Montagem da Função Lucro

Substituímos as expressões na fórmula do lucro:
$$L(x) = (-0,2x^2 + 5x) - (1,4x + 2)$$

Distribuímos o sinal negativo e simplificamos os termos semelhantes:
$$L(x) = -0,2x^2 + 5x - 1,4x - 2$$
$$L(x) = -0,2x^2 + 3,6x - 2$$

Isso nos permite verificar a Alternativa B, que afirma que o termo constante é $+2$. Como nossa função tem $-2$, a alternativa B está incorreta.

2. Cálculo do Lucro Máximo

Como a função lucro é uma parábola com concavidade voltada para baixo ($a = -0,2 < 0$), ela possui um ponto de máximo (vértice). A coordenada $x$ do vértice ($x_v$) indica a quantidade que gera o maior lucro.

Fórmula do vértice: $x_v = \frac{-b}{2a}$

$$x_v = \frac{-3,6}{2 \cdot (-0,2)}$$
$$x_v = \frac{-3,6}{-0,4}$$
$$x_v = 9$$

Portanto, o maior lucro ocorre vendendo 9 tablets.

Agora calculamos o valor do lucro ($y_v$) substituindo $x=9$ na função:
$$L(9) = -0,2(9)^2 + 3,6(9) - 2$$
$$L(9) = -0,2(81) + 32,4 - 2$$
$$L(9) = -16,2 + 32,4 - 2$$
$$L(9) = 14,2$$

Como a unidade é "milhares de reais", o valor é R$ 14.200,00.
Isso confirma que a Alternativa A está correta.

3. Verificação das outras alternativas

• Alternativa C (Lucro com 10 tablets):
  $$L(10) = -0,2(10)^2 + 3,6(10) - 2$$
  $$L(10) = -20 + 36 - 2 = 14$$ (ou seja, R$ 14.000,00). A alternativa diz R$ 18.000,00, logo está errada.
• Alternativa D (Receita com 10 tablets):
  $$R(10) = -0,2(10)^2 + 5(10)$$
  $$R(10) = -20 + 50 = 30$$ (ou seja, R$ 30.000,00). A alternativa diz R$ 30,00, ignorando a unidade "milhares", logo está errada.
• Alternativa E (Custo com 10 tablets):
  $$C(10) = 1,4(10) + 2$$
  $$C(10) = 14 + 2 = 16$$ (ou seja, R$ 16.000,00). A alternativa diz R$ 16,00, ignorando a unidade "milhares", logo está errada.