A figura abaixo apresenta duas restrições de um problema de programação linear onde a e b são as quantidades produzidas dos itens A e B. Dentro as alternativas abaixo, quais inequações correspondem às restrições do problema?

Alternativa D

Para resolver esta questão de Programação Linear, precisamos determinar as equações das retas que formam as fronteiras da região viável apresentada no gráfico. O processo consiste em encontrar a equação da reta que passa pelos pontos onde ela intercepta os eixos cartesianos.

Análise do Gráfico

Observe as interseções de cada reta com os eixos a (horizontal) e b (vertical):

1. Primeira Reta (menor inclinação):

• Intercepta o eixo b no ponto (0, 100).
• Intercepta o eixo a no ponto (100, 0).
• Utilizando a equação geral da reta na forma reduzida ou interceptos \frac{a}{a_0} + \frac{b}{b_0} = 1:
  \frac{a}{100} + \frac{b}{100} = 1
• Multiplicando toda a equação por 100, obtemos:
  a + b = 100

1. Segunda Reta (maior inclinação):

• Intercepta o eixo b no ponto (0, 240).
• Intercepta o eixo a no ponto (80, 0).
• Aplicando a mesma fórmula de interceptos:
  \frac{a}{80} + \frac{b}{240} = 1
• Para simplificar, encontramos o mínimo múltiplo comum entre 80 e 240, que é 240. Multiplicando a equação inteira por 240:
  3a + b = 240

Conclusão

As equações que descrevem as fronteiras das restrições são a + b = 100 e $3a + b = 240$. Como a região sombreada está abaixo dessas retas e no primeiro quadrante, as inequações reais seriam a + b \leq 100 e $3a + b \leq 240$.

A alternativa que apresenta essas equações corretamente é a D.