Alternativa D
Este é um problema clássico de Programação Linear, onde o objetivo é maximizar uma função linear sujeita a restrições lineares. Para resolver, devemos encontrar os pontos extremos (vértices) da região viável e testá-los na função objetivo.
Análise Detalhada
1. Identificando as Restrições
Temos as seguintes inequações que definem a fronteira da região possível:
- Restrição 1: 12x_1 + 15x_2 \leq 900
- Restrição 2: 3x_1 + 2x_2 \leq 300
- Não negatividade: x_1 \geq 0, x_2 \geq 0
Para facilitar, vamos simplificar a primeira restrição dividindo por 3:
4x_1 + 5x_2 \leq 300
2. Encontrando os Vértices da Região Viável
A região viável é formada pela intersecção dessas áreas com os eixos positivos. Vamos verificar os pontos de corte com os eixos para cada linha:
- Linha 1 ($4x_1 + 5x_2 = 300$):
- Se x_1 = 0: 5x_2 = 300 \Rightarrow x_2 = 60 (Ponto: (0, 60))
- Se x_2 = 0: 4x_1 = 300 \Rightarrow x_1 = 75 (Ponto: (75, 0))
- Linha 2 ($3x_1 + 2x_2 = 300$):
- Se x_1 = 0: 2x_2 = 300 \Rightarrow x_2 = 150
- Se x_2 = 0: 3x_1 = 300 \Rightarrow x_1 = 100
Observação Importante:
Note que os pontos da Linha 1 (interceptos 60 e 75) estão sempre mais próximos da origem do que os pontos da Linha 2 (interceptos 150 e 100). Isso significa que qualquer ponto que satisfaça a Restrição 1 também satisfaz automaticamente a Restrição 2. Portanto, a segunda restrição é redundante e não altera a região viável.
Os vértices críticos para teste são:
- Origem: (0, 0)
- Eixo Y: (0, 60)
- Eixo X: (75, 0)
3. Calculando a Função Objetivo
A função objetivo é: z = 77x_1 + 92x_2
Vamos calcular o valor de z em cada vértice relevante:
| Ponto (x_1, x_2) | Cálculo | Resultado (z) |
|---|
| (0, 0) | 77(0) + 92(0) | 0 |
| (0, 60) | 77(0) + 92(60) | 5520 |
| (75, 0) | 77(75) + 92(0) | 5775 |
4. Conclusão
Comparando os valores obtidos (0, 5520 e 5775), o valor máximo é atingido quando x_1 = 75 e x_2 = 0.
O valor máximo referente à função objetivo é z = 5775.
Portanto, a alternativa correta é a D.