A função de sistema de um sistema linear invariante no tempo é representada pela equação a seguir: $H(z) = \frac{3 - 3z^{-1}}{1 + 0.5z^{-1}}$ Calcule a resposta ao impulso

Alternativa C

Para encontrar a resposta ao impulso h[n] de um sistema linear invariante no tempo, precisamos calcular a Transformada Z Inversa da função de transferência H(z). O objetivo é manipular a expressão algébrica de modo a utilizar pares conhecidos de transformadas.

A equação dada é:
H(z) = \frac{3 - 3z^{-1}}{1 + 0.5z^{-1}}

Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador (ambos são de ordem 1 em relação a z^{-1}), devemos realizar uma divisão polinomial ou decomposição algébrica para separar a parte constante (termo direto) da parte fracionária.

Manipulando o numerador para conter o denominador como fator:
3 - 3z^{-1} = -6(1 + 0.5z^{-1}) + 9

Substituindo na expressão original:
H(z) = \frac{-6(1 + 0.5z^{-1}) + 9}{1 + 0.5z^{-1}} = -6 + \frac{9}{1 + 0.5z^{-1}}

Reescrevendo o termo da fração para identificar o par de transformadas padrão (\frac{1}{1 - az^{-1}} \Leftrightarrow a^n u[n]):
H(z) = -6 + \frac{9}{1 - (-0.5)z^{-1}}

Aplicando a Transformada Z Inversa em cada termo:

1. O termo constante -6 corresponde à função delta escalonada: \mathcal{Z}^{-1}\{-6\} = -6\delta[n].
2. O termo racional corresponde a uma série geométrica causal: \mathcal{Z}^{-1}\left\{ \frac{9}{1 - (-0.5)z^{-1}} \right\} = 9(-0.5)^n u[n].

Somando os resultados, obtemos a resposta ao impulso:
h[n] = -6\delta[n] + 9(-0.5)^n u[n]

Análise

• Decomposição Algébrica: O passo crucial foi escrever o numerador como uma combinação do denominador mais um resíduo ($9$), permitindo separar a função em uma parte direta (-6) e uma parte dinâmica.
• Pares de Transformada: Utilizou-se o par fundamental da Transformada Z para sistemas causais: \frac{1}{1 - az^{-1}} \Leftrightarrow a^n u[n]. Neste caso, a = -0.5.
• Função Delta: Termos constantes na Transformada Z no domínio da frequência correspondem a impulsos instantâneos no domínio do tempo, representados por \delta[n].
• Comparação: O resultado final coincide exatamente com a opção C, diferenciando-se das outras alternativas pelos coeficientes e sinais corretos.

Portanto, a alternativa correta é a C.