A função de transferência de um sistema linear invariante no tempo é representada pela equação: H(z) = 0.2z⁻¹ / (1 + 0.3z⁻¹). Sendo o sinal de entrada x[n] = δ[n-1] - 2δ[n-2], determine o sinal de saída y[n].

Alternativa A

Análise da Resposta

Este problema envolve o processamento de sinais digitais, especificamente o uso da Transformada Z para encontrar a resposta de um sistema linear invariante no tempo (LTI).

Passo 1: Transformada do Sinal de Entrada
O sinal de entrada é definido como:
x[n] = \delta[n-1] - 2\delta[n-2]

Utilizando a propriedade de deslocamento no tempo da Transformada Z (\mathcal{Z}\{\delta[n-k]\} = z^{-k}), obtemos X(z):
X(z) = z^{-1} - 2z^{-2}

Passo 2: Determinação da Transformada da Saída
A relação fundamental no domínio Z é dada por:
Y(z) = H(z) \cdot X(z)

Substituindo as expressões fornecidas:
Y(z) = \left( \frac{0.2z^{-1}}{1 + 0.3z^{-1}} \right) \cdot (z^{-1} - 2z^{-2})

Multiplicando os termos do numerador:
Y(z) = \frac{0.2z^{-2} - 0.4z^{-3}}{1 + 0.3z^{-1}}

Separando a expressão em duas frações para facilitar a inversão:
Y(z) = \frac{0.2z^{-2}}{1 + 0.3z^{-1}} - \frac{0.4z^{-3}}{1 + 0.3z^{-1}}

Passo 3: Transformada Z Inversa
Precisamos identificar a forma padrão para a transformada inversa. Sabemos que:
\frac{1}{1 - az^{-1}} \Leftrightarrow a^n u[n]

No denominador temos $1 + 0.3z^{-1}, que pode ser reescrito como $1 - (-0.3)z^{-1}. Isso significa que a constante a = -0.3.

Agora aplicamos a propriedade de deslocamento no tempo (z^{-k}F(z) \Leftrightarrow f[n-k]):

1. Primeiro Termo:
   0.2 \cdot z^{-2} \cdot \frac{1}{1 - (-0.3)z^{-1}} \Rightarrow 0.2(-0.3)^{n-2}u[n-2]
2. Segundo Termo:
   -0.4 \cdot z^{-3} \cdot \frac{1}{1 - (-0.3)z^{-1}} \Rightarrow -0.4(-0.3)^{n-3}u[n-3]

Resultado Final
Somando as partes, obtemos a expressão completa para y[n]:
y[n] = 0.2(-0.3)^{n-2}u[n-2] - 0.4(-0.3)^{n-3}u[n-3]

Esta expressão coincide exatamente com a Alternativa A.

Comparativo com as Opções