Alternativa D
Análise Detalhada da Questão
Para resolver este problema de Processamento Digital de Sinais, utilizaremos a Transformada Z, que é a ferramenta matemática ideal para relacionar sinais no domínio do tempo (n) com funções de transferência no domínio da frequência complexa (z).
1. Passagem para o Domínio Z
A função de transferência dada no domínio da frequência é:
H(e^{j\omega}) = \frac{1 + e^{-2j\omega}}{1 - 0.8e^{-j\omega}}
No contexto da Transformada Z, fazemos a substituição e^{j\omega} \rightarrow z. Assim, a função de transferência H(z) torna-se:
H(z) = \frac{1 + z^{-2}}{1 - 0.8z^{-1}}
2. Transformada do Sinal de Entrada
O sinal de entrada é definido como:
x[n] = 2\delta[n - 2]
Aplicando a propriedade de atraso da Transformada Z (\delta[n-k] \leftrightarrow z^{-k}), obtemos:
X(z) = 2z^{-2}
3. Cálculo da Saída Y(z)
A relação fundamental para sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) é que a Transformada da Saída é o produto da Transformada da Entrada pela Função de Transferência:
Y(z) = H(z) \cdot X(z)
Substituindo as expressões encontradas:
Y(z) = \left( \frac{1 + z^{-2}}{1 - 0.8z^{-1}} \right) \cdot (2z^{-2})
Distribuindo o termo $2z^{-2}$ no numerador:
Y(z) = \frac{2z^{-2} + 2z^{-4}}{1 - 0.8z^{-1}}
Podemos separar esta expressão em duas frações para facilitar a análise:
Y(z) = \frac{2z^{-2}}{1 - 0.8z^{-1}} + \frac{2z^{-4}}{1 - 0.8z^{-1}}
4. Transformada Inversa (Passo Crucial)
Precisamos converter esses termos de volta para o domínio do tempo (n). Utilizamos a propriedade da série geométrica associada à resposta ao impulso de um sistema IIR:
\frac{1}{1 - az^{-1}} \leftrightarrow a^n u[n]
Neste caso, a = 0.8. Além disso, aplicamos a propriedade de deslocamento no tempo:
z^{-k} F(z) \leftrightarrow f[n-k]
Vamos analisar cada termo separado:
- Primeiro Termo: \frac{2z^{-2}}{1 - 0.8z^{-1}}
- A parte fracionária gera $0.8^n u[n]$.
- O termo z^{-2} atrasa o sinal em 2 unidades.
- Resultado: $2 \cdot 0.8^{n-2} u[n-2]$
- Segundo Termo: \frac{2z^{-4}}{1 - 0.8z^{-1}}
- A parte fracionária gera $0.8^n u[n]$.
- O termo z^{-4} atrasa o sinal em 4 unidades.
- Resultado: $2 \cdot 0.8^{n-4} u[n-4]$
5. Conclusão
Somando os dois resultados parciais, obtemos a expressão final para o sinal de saída y[n]:
y[n] = 2 \cdot 0.8^{n-2} u[n-2] + 2 \cdot 0.8^{n-4} u[n-4]
Comparando com as alternativas apresentadas na imagem, identificamos que esta expressão corresponde exatamente à Alternativa D.