A resposta ao impulso de um sistema linear invariante no tempo é representada pela equação a seguir: h[n] = { (0.3)^n n ≥ 0 { 0 n < 0 Se o sinal de saída é y[n] = { 1 0 ≤ n < 4 { 0 caso contrário Aplicando transformada z calcule a função do sinal de entrada x[n]

Alternativa D

Para determinar o sinal de entrada x[n] de um sistema linear invariante no tempo, utilizamos a propriedade fundamental que relaciona a saída, a entrada e a resposta ao impulso no domínio da Transformada Z.

A operação de convolução no tempo torna-se uma simples multiplicação nas variáveis complexas, permitindo isolar a função desconhecida da entrada.

Análise

• Identificação das Funções:
• A resposta ao impulso é h[n] = 0.3^n u[n], cuja transformada é H(z) = \frac{1}{1 - 0.3z^{-1}}.
• O sinal de saída y[n] é um pulso retangular de duração 4, representado por u[n] - u[n-4]. Sua transformada é Y(z) = \frac{1 - z^{-4}}{1 - z^{-1}}.
• Isolamento da Entrada:
• Pela relação Y(z) = H(z) \cdot X(z), temos X(z) = \frac{Y(z)}{H(z)}.
• Multiplicando Y(z) pelo inverso de H(z), obtemos: X(z) = \frac{1 - z^{-4}}{1 - z^{-1}} \cdot (1 - 0.3z^{-1}).
• Expansão e Simplificação:
• Expandindo o numerador: (1 - z^{-4})(1 - 0.3z^{-1}) = 1 - 0.3z^{-1} - z^{-4} + 0.3z^{-5}.
• Dividindo cada termo pelo denominador comum (1 - z^{-1}), criamos uma soma de frações separadas.
• Transformada Inversa:
• Reconhecendo a forma padrão \frac{z^{-k}}{1 - z^{-1}} \Leftrightarrow u[n-k], convertemos de volta para o tempo.
• Os sinais resultantes são u[n], -0.3u[n-1], -u[n-4] e +0.3u[n-5].

A combinação desses termos gera a expressão exata encontrada na alternativa D, validando o cálculo realizado.