Analisando a proposição 'Cada número racional não zero pode ser escrito como produto de dois números irracionais', um estudante de Métodos de Demonstração assim escreveu: Faça a e Q. PORQUE II. então podemos escrever a como um produto de dois irracionais $\sqrt{2}. a/\sqrt{2} = a$ onde $a/\sqrt{2}$ é irracional e a é racional. A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.

Introdução

A questão analisa a validade de uma demonstração sobre números racionais e irracionais. O estudante afirma que todo racional não nulo pode ser escrito como produto de dois irracionais.

Desenvolvimento

Primeira asserção (I):

• A proposição "Cada número racional não zero pode ser escrito como produto de dois números irracionais" é verdadeira.
• Por quê? Para qualquer racional a ≠ 0, escolha um irracional fixo, como √2.
• Defina b = a/√2. Como a é racional e √2 é irracional, b também é irracional (divisão de racional por irracional não nula resulta em irracional).
• Assim, **a = √2 * b**, produto de dois irracionais.

Segunda asserção (II):

• O estudante escreve: "√2 * a/√2 = a, onde a/√2 é irracional e a é racional".
• Isso está correto e é exatamente a justificativa da primeira asserção.
• O cálculo é válido: **√2 * (a/√2) = a**.
• A afirmação de que a/√2 é irracional é verdadeira para a racional não nulo.

Análise

• Primeira asserção: Verdadeira (conforme explicado).
• Segunda asserção: Verdadeira e é uma justificativa correta da primeira.
• Alternativa correta: A.

Conclusão

Ambas as asserções são verdadeiras, e a segunda fornece uma demonstração válida da primeira. Portanto, a resposta é A.