Analise a declaração: Demonstre que √2 é um número irracional, feita por um estudante de métodos de demonstração, ele assim escreveu: Suponha, por absurdo, que √2 é racional. Desta forma, seria possível encontrar números inteiros a; b, com b ≠ 0, tais que √2 poderia ser representada como fração irredutível a/b. II. A partir disto, podemos afirmar que: 2 = (√2)² = a²/b² 2b² = a² Assim, temos que a² é par, e desta forma, a também é par. Como a é par, a = 2k para algum inteiro k. Logo: a² = (2k)² = 4k² b² = 2k² O que nos diz que b também é par. Mas isto é uma contradição, pois se a e b são pares, a fração irredutível a/b poderia ser reduzida, um absurdo. Logo, podemos concluir que o número não pode ser racional, e sim irracional. Assinale a opção correta.

Alternativa A

Análise Detalhada

Esta questão trata da Demonstração por Absurdo (também conhecida como Reductio ad absurdum), um método clássico usado para provar que \sqrt{2} é um número irracional. Vamos analisar cada parte da afirmação apresentada pelo estudante.

1. Análise da Asserção I

"Suponha, por absurdo, que \sqrt{2} é racional. Desta forma, seria possível encontrar números inteiros a, b, com b \neq 0, tais que \sqrt{2} poderia ser representado como fração irredutível a/b."

Esta assersão descreve corretamente o ponto de partida de uma prova por contradição:

• Hipótese: Assume-se que a afirmação desejada é falsa (ou seja, assume-se que \sqrt{2} é racional).
• Definição de Racional: Um número é racional se puder ser escrito como uma fração a/b onde a e b são inteiros.
• Condição de Irredutibilidade: Sempre podemos simplificar uma fração até que a e b não tenham divisores comuns (são primos entre si).

Portanto, a Asserção I é Verdadeira.

2. Análise da Asserção II

"A partir disto, podemos afirmar que: $2 = (\sqrt{2})^2 = (a/b)^2 = a^2/b^2$ ... Logo, podemos concluir que o número não pode ser racional, e sim irracional."

Esta assersão apresenta o desenvolvimento lógico passo a passo:

• Transforma a equação \sqrt{2} = a/b em a^2 = 2b^2.
• Deduz que a^2 é par, logo a é par (a=2k).
• Substitui na equação original para mostrar que b^2 também é par, logo b é par.
• Conclui que se a e b são ambos pares, a fração a/b não era irredutível, gerando uma contradição.

Todo o raciocínio matemático apresentado está correto. Portanto, a Asserção II é Verdadeira.

3. Relação entre I e II

A Asserção II contém os cálculos e deduções lógicas que provam que a hipótese feita na Asserção I leva a um absurdo (contradição). Sem os passos da Asserção II, a Asserção I seria apenas uma suposição sem validação.

Logo, a Asserção II serve como a justificativa completa para a validade do método demonstrativo iniciado na Asserção I.

Resumo dos Conceitos-Chave

Conclusão: Ambas as partes estão corretas e conectadas logicamente.

Alternativa A.