Se um inteiro é divisível por 6, então duas vezes esse inteiro é divisível por 4. Nesse contexto, analise as afirmações a seguir de tal forma que seja possível demonstrar que tal proposição é verdadeira. I. Suponhamos que n é um inteiro divisível por 6, isto é, n = 6q, para algum inteiro q. II. Vamos analisar o dobro do número n. III. Logo: 2n = 12q = 4(3q) = 4k, onde k é um inteiro q.

Alternativa E - I, II e III

Para responder a esta questão, precisamos entender a estrutura de uma demonstração matemática. O objetivo é provar a seguinte implicação:

Se um inteiro n é divisível por 6, então $2n$ é divisível por 4.

Vamos analisar cada passo da sequência apresentada:

Análise dos Passos

1. Afirmação I (Hipótese):

• Texto: "Suponhamos que n é um inteiro divisível por 6, isto é, n = 6q, para algum inteiro q."
• Análise: Correto. Pela definição de divisibilidade, se um número é múltiplo de 6, ele pode ser escrito como $6$ multiplicado por algum outro inteiro (q). Este é o ponto de partida obrigatório.

1. Afirmação II (Objetivo):

• Texto: "Vamos analisar o dobro do número n."
• Análise: Correto. O enunciado pede para verificar a propriedade sobre "duas vezes esse inteiro". Portanto, devemos calcular $2n$. Esta frase serve como uma ponte lógica entre a hipótese e o cálculo.

1. Afirmação III (Conclusão/Lógica):

• Texto: "Logo: $2n = 2(6q) = 12q = 4(3q) = 4k$, onde k = 3q é um inteiro..."
• Análise: Correto.
• Substituímos n por $6q$: $2n = 12q$.
• Fatoramos o $12q$ para evidenciar o fator 4: $4(3q)$.
• Definimos k = 3q. Como q é inteiro, $3q$ também é, logo k é um inteiro.
• Chegamos à forma $2n = 4k$, o que significa que $2n$ é divisível por 4.
• (Nota: Há um pequeno erro de digitação no final da frase III da imagem ("inteiro q"), mas a lógica matemática apresentada está perfeita).

Conclusão

As três afirmações formam um raciocínio completo e ordenado:

• I estabelece a premissa.
• II define o foco da análise.
• III realiza a manipulação algébrica para provar a tese.

Portanto, todas as afirmações estão corretas e necessárias para a demonstração.

Alternativa E.