Assinale a opção que contém uma igualdade verdadeira, quaisquer que sejam os conjuntos A e B.

Question

Assinale a opção que contém uma igualdade verdadeira, quaisquer que sejam os conjuntos A e B. A) (A ∪ B) A = B B) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) C) (A B) ⊂ B D) (A B) ∪ (B A) = A ∪ B E) A (B ∪ C) = (A B) ∪ (A C)

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Alternativa B A questão aborda propriedades fundamentais da Teoria dos Conjuntos , especificamente as leis de distribuição e operações entre conjuntos. Para identificar a igualdade verdadeira, analisamos cada alternativa utilizando definições e contraexemplos. Análise das Alternativas 1. Por que a Alternativa B é correta? A expressão apresentada na alternativa B é a Lei Distributiva da União em relação à Interseção . Esta é uma propriedade universal válida para qualquer conjunto $A$, $B$ e $C$. Fórmula: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ Explicação: Os elementos que estão no conjunto $A$ ou que estão simultaneamente em $B$ e $C$ são exatamente os mesmos que estão na interseção do conjunto formado pela união de $A$ com $B$ e o conjunto formado pela união de $A$ com $C$. Exemplo: Se $A = \{1, 2\}$, $B = \{2, 3\}$, $C = \{3, 4\}$: Lado Esquerdo: $A \cup (B \cap C) = \{1, 2\} \cup \{3\} = \{1, 2, 3\}$ Lado Direito: $(A \cup B) \cap (A \cup C) = \{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 3, 4\} = \{1, 2, 3\}$ Resultado: Igualdade confirmada. 2. Por que as outras alternativas estão incorretas? | Alternativa | Expressão | Erro Comum | Contraexemplo | | : | : | : | : | | A | $(A \cup B) A = B$ | Ignora a interseção | Se $A=\{1\}, B=\{1\}$, então $(A \cup B) A = \{1\} \{1\} = \emptyset 
eq B$ | | C | $(A B) \subset B$ | Confunde diferença com subconjunto | Se $A=\{1\}, B=\{2\}$, então $A B=\{1\}$. $\{1\}$ não está em $\{2\}$ | | D | $(A B) \cup (B A) = A \cup B$ | Confunde diferença simétrica com união | Falta retirar a interseção ($A \cap B$) | | E | $A (B \cup C) = (A B) \cup (A C)$ | Erra a operação final (deve ser $\cap$) | Deve ser $(A B) \cap (A C)$ | Resumo das Propriedades Corretas Para garantir o entendimento, aqui estão as correções para as expressões falsas: A correta seria: $(A \cup B) A = B A$ A correta seria: $(A B) \cup (B A) = (A \cup B) (A \cap B)$ (Diferença Simétrica) A correta seria: $A (B \cup C) = (A B) \cap (A C)$ (Lei de De Morgan para conjuntos) Conclusão: A única igualdade matematicamente verdadeira para quaisquer conjuntos é a Alternativa B , devido à Lei Distributiva.

Alternativa	Expressão	Erro Comum	Contraexemplo
A	$(A \cup B) - A = B$	Ignora a interseção	Se $A=\{1\}, B=\{1\}$ , então $(A \cup B)-A = \{1\}-\{1\} = \emptyset \neq B$
C	$(A - B) \subset B$	Confunde diferença com subconjunto	Se $A=\{1\}, B=\{2\}$ , então $A-B=\{1\}$ . $\{1\}$ não está em $\{2\}$
D	$(A - B) \cup (B - A) = A \cup B$	Confunde diferença simétrica com união	Falta retirar a interseção ( $A \cap B$ )
E	$A - (B \cup C) = (A - B) \cup (A - C)$	Erra a operação final (deve ser $\cap$ )	Deve ser $(A - B) \cap (A - C)$

Explicação passo a passo

Análise das Alternativas

1. Por que a Alternativa B é correta?

2. Por que as outras alternativas estão incorretas?

Resumo das Propriedades Corretas

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