Com os algarismos de 1 a 9, quantos são os números de 4 algarismos DIFERENTES que podemos formar, sabendo-se que necessariamente devemos usar pelo menos um algarismo 2 ou um algarismo 5?

Question

Com os algarismos de 1 a 9, quantos são os números de 4 algarismos DIFERENTES que podemos formar, sabendo se que necessariamente devemos usar pelo menos um algarismo 2 ou um algarismo 5? A) $A 4^9$ B) $A 2^9$ C) $C 4^7$ D) $C 4^9 C 4^7$ E) $A 4^9 A 4^7$

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa E Para resolver esta questão, precisamos utilizar os princípios da Análise Combinatória , especificamente focando no conceito de Arranjo Simples . Introdução ao Problema O enunciado pede a formação de números de 4 algarismos distintos utilizando os dígitos de 1 a 9. A condição crucial é que devemos usar "pelo menos um algarismo 2 ou um algarismo 5" . Existem dois pontos fundamentais para entender: 1. Ordem importa: Como estamos formando números (ex: 1234 é diferente de 4321), utilizamos a fórmula de Arranjo ($A n$), e não de Combinação ($C n$). 2. Método da Complementação: Para contar quantos casos têm "pelo menos um", é matematicamente mais fácil calcular o total de casos possíveis e subtrair aqueles que não atendem à regra. Desenvolvimento da Solução Passo 1: Calcular o Total de Números Possíveis Primeiro, imaginamos que não há nenhuma restrição sobre os números 2 e 5. Temos 9 algarismos disponíveis ({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}) e precisamos preencher 4 posições. $$ 	ext{Total} = A^9 4 $$ Isso representa todas as permutações de 4 elementos escolhidos entre 9. Passo 2: Calcular os Casos Indesejados (Complemento) A condição exigida é ter o 2 ou o 5. O caso oposto (o que queremos evitar na subtração) é formar números sem o algarismo 2 e sem o algarismo 5 . Se retirarmos o 2 e o 5 do conjunto original, quantos algarismos sobraram? Original: 9 algarismos Excluídos: 2 e 5 Sobrantes: $9 2 = 7$ algarismos ({1, 3, 4, 6, 7, 8, 9}) Agora calculamos quantos números de 4 algarismos podemos formar apenas com esses 7 algarismos restantes: $$ 	ext{Indesejados} = A^7 4 $$ Passo 3: Aplicar o Princípio da Complementação Para encontrar os números que obrigatoriamente contêm pelo menos um 2 ou um 5, subtraímos os indesejados do total geral: $$ 	ext{Resultado} = 	ext{Total} 	ext{Indesejados} $$ $$ 	ext{Resultado} = A^9 4 A^7 4 $$ Análise das Alternativas | Alternativa | Expressão | Significado | Status | | : | : | : | : | | A | $A^9 4$ | Calcula todos os números sem excluir nenhum caso. | Incorreta | | B | $A^9 2$ | Não corresponde à lógica de escolher 4 posições. | Incorreta | | C | $C^7 4$ | Usa combinação (ordem não importa) e ignora o total. | Incorreta | | D | $C^9 4 C^7 4$ | Usa combinação, mas números dependem da ordem. | Incorreta | | E | $A^9 4 A^7 4$ | Calcula o total e subtrai os casos sem o 2 ou 5. | Correta | Conclusão: A expressão correta que representa a quantidade de números formados por 4 algarismos distintos de 1 a 9 contendo pelo menos um 2 ou um 5 é dada pela diferença entre o arranjo total e o arranjo formado pelos algarismos excluídos. Portanto, a alternativa correta é a E .

Explicação passo a passo

Introdução ao Problema

Desenvolvimento da Solução

Passo 1: Calcular o Total de Números Possíveis

Passo 2: Calcular os Casos Indesejados (Complemento)

Passo 3: Aplicar o Princípio da Complementação

Análise das Alternativas

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Alternativa	Expressão	Significado	Status
A	$A^9_4$	Calcula todos os números sem excluir nenhum caso.	Incorreta
B	$A^9_2$	Não corresponde à lógica de escolher 4 posições.	Incorreta
C	$C^7_4$	Usa combinação (ordem não importa) e ignora o total.	Incorreta
D	$C^9_4 - C^7_4$	Usa combinação, mas números dependem da ordem.	Incorreta
E	$A^9_4 - A^7_4$	Calcula o total e subtrai os casos sem o 2 ou 5.	Correta