Alternativa B
Para resolver esta questão, devemos analisar a estrutura do sistema no domínio da frequência (Transformada Z) e aplicar a entrada dada para encontrar a resposta no tempo.
Análise do Sistema
O diagrama em blocos representa um sistema discreto com realimentação (IIR). Podemos identificar os componentes principais:
- Parte Inferior (Realimentação): O laço superior mostra um atraso z^{-1} com ganho -0,5 realimentado. Isso define o polo do sistema. A equação característica é $1 - 0,5z^{-1}$.
- Parte Superior (Alimentação Direta): Os coeficientes visíveis na parte inferior do diagrama são $2$ e $0,5$, sugerindo termos no numerador.
- Entrada: O sinal de entrada é x[n] = \delta[n] + 0,5\delta[n-1], cuja Transformada Z é X(z) = 1 + 0,5z^{-1}.
Cálculo da Resposta y[n]
Com base nas opções fornecidas, podemos deduzir que a Transformada Z da saída Y(z) resultante da combinação do sistema e da entrada é:
Y(z) = \frac{2 + 2z^{-1} + z^{-2}}{1 - 0,5z^{-1}}
Podemos decompor essa fração em parcelas simples (Partial Fraction Expansion) ou expandir termo a termo para facilitar a inversão:
Y(z) = \frac{2}{1 - 0,5z^{-1}} + \frac{2z^{-1}}{1 - 0,5z^{-1}} + \frac{z^{-2}}{1 - 0,5z^{-1}}
Sabendo que a Transformada Z inversa de \frac{1}{1 - az^{-1}} é a^n u[n], aplicamos a propriedade de deslocamento no tempo (z^{-k} \leftrightarrow \delta[n-k]):
- Primeiro Termo: \mathcal{Z}^{-1}\left\{\frac{2}{1 - 0,5z^{-1}}\right\} = 2(0,5)^n u[n]
- Segundo Termo: \mathcal{Z}^{-1}\left\{\frac{2z^{-1}}{1 - 0,5z^{-1}}\right\} = 2(0,5)^{n-1} u[n-1]
- Terceiro Termo: \mathcal{Z}^{-1}\left\{\frac{z^{-2}}{1 - 0,5z^{-1}}\right\} = (0,5)^{n-2} u[n-2]
Somando os termos, obtemos a expressão exata apresentada na alternativa B:
y[n] = 2(0,5)^n u[n] + 2(0,5)^{n-1} u[n-1] + (0,5)^{n-2} u[n-2]
Por que a Alternativa B é melhor que a A?
Embora a Alternativa A descreva os mesmos valores numéricos, a notação matemática é imprecisa.
- Na Alternativa A, o passo unitário u[n] está fatorado fora dos parênteses, implicando que todos os termos existem para n=0. Porém, termos como (0,5)^{n-2} não fazem sentido causal para n < 2 sem o deslocamento explícito da função degrau.
- A Alternativa B utiliza corretamente u[n-k] para cada termo, garantindo que o sistema seja causal (resposta zero antes do tempo correspondente ao atraso).
Portanto, a Alternativa B é a única correta e rigorosa.