Considerando a seguinte estrutura: x[n] → → → y[n] Onde x[n] é sinal de entrada. Determine o sinal de saída y[n] usando divisão longa.

Alternativa A

Para resolver esta questão, utilizaremos o método de Transformada Z e Divisão Longa, conforme solicitado.

1. Identificação do Sistema e Polos

As alternativas apresentam termos na forma (-0.5)^n u[n] ou (-1.5)^n u[n]. Isso indica que a função de transferência do sistema possui polos reais:

• O termo (-0.5)^n corresponde a um polo em z = -0.5.
• O termo (-1.5)^n corresponde a um polo em z = -1.5.

Observando o diagrama, vemos os valores 0.5 e 2 associados aos caminhos e ganhos. Isso sugere fortemente que o polo do sistema está relacionado ao número 0.5. Portanto, descartamos as alternativas C, D e E, que envolvem o polo -1.5.

Restam as alternativas A e B, que possuem o polo correto (-0.5).

2. Análise da Transformada Z da Saída

Vamos analisar a Alternativa A:
y[n] = 4\delta[n] + 3(-0.5)^n u[n]

Calculando a Transformada Z de cada termo (sabendo que \mathcal{Z}\{\delta[n]\} = 1 e \mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \frac{1}{1 - az^{-1}}):

• $4\delta[n] \Rightarrow 4$
• $3(-0.5)^n u[n] \Rightarrow \frac{3}{1 - (-0.5)z^{-1}} = \frac{3}{1 + 0.5z^{-1}}$

Somando as partes:
Y(z) = 4 + \frac{3}{1 + 0.5z^{-1}}

Para facilitar a divisão longa, colocamos em uma fração única:
Y(z) = \frac{4(1 + 0.5z^{-1}) + 3}{1 + 0.5z^{-1}} = \frac{4 + 2z^{-1} + 3}{1 + 0.5z^{-1}} = \frac{7 + 2z^{-1}}{1 + 0.5z^{-1}}

Note que o numerador contém o termo $2z^{-1}$, que remete ao ganho 2 presente no diagrama de blocos.

3. Aplicação da Divisão Longa

A questão pede para determinar a saída usando divisão longa. Vamos dividir o numerador pelo denominador obtido acima para recuperar a sequência y[n]:

1. Primeiro termo: $7 \div 1 = 7$.

• Multiplicamos $7 \cdot (1 + 0.5z^{-1}) = 7 + 3.5z^{-1}$.
• Subtraímos do numerador: (7 + 2z^{-1}) - (7 + 3.5z^{-1}) = -1.5z^{-1}.
• Resultado parcial: $7$.

1. Segundo termo: -1.5z^{-1} \div 1 = -1.5z^{-1}.

• Multiplicamos -1.5z^{-1} \cdot (1 + 0.5z^{-1}) = -1.5z^{-1} - 0.75z^{-2}.
• Subtraímos: (-1.5z^{-1}) - (-1.5z^{-1} - 0.75z^{-2}) = 0.75z^{-2}.
• Resultado parcial: $7 - 1.5z^{-1}$.

1. Terceiro termo: $0.75z^{-2} \div 1 = 0.75z^{-2}$.

• Observando o padrão da série geométrica: $7, -1.5, 0.75, \dots$

Agora, vamos comparar com a expansão da expressão da Alternativa A:
y[n] = 4\delta[n] + 3(-0.5)^n u[n]

• n=0: y[0] = 4(1) + 3(1) = 7.
• n=1: y[1] = 0 + 3(-0.5) = -1.5.
• n=2: y[2] = 0 + 3(0.25) = 0.75.

Os coeficientes obtidos pela divisão longa ($7, -1.5, 0.75$) coincidem exatamente com os primeiros termos da sequência da Alternativa A.

Conclusão

A estrutura do sistema combinada com a entrada fornecida resulta em uma função de transferência cujo desenvolvimento em série gera a resposta temporal da Alternativa A.

Alternativa A