Considere o seguinte problema de programação linear: Maximize Z = x₁ + 2x₂ Sujeito a: x₁ + 2x₂ ≤ 8 -x₁ + x₂ ≤ 16 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 O valor ótimo da função objetivo deste problema é:

Alternativa A - 8

Esta questão de Programação Linear apresenta uma característica especial que permite uma solução rápida sem necessidade de cálculos complexos de interseção de retas.

Análise do Problema:

1. Função Objetivo: Queremos maximizar $Z = x1 + 2x2$.
2. Restrição 1: Temos a condição $x1 + 2x2 \leq 8$.
3. Restrição 2: Temos a condição $-x1 + x2 \leq 16$.
4. Não Negatividade: $x1, x2 \geq 0$.

Observação Crucial:

Note que a expressão matemática da função objetivo ($x1 + 2x2$) é idêntica ao lado esquerdo da primeira restrição.

$$ \text{Maximizar } Z = x1 + 2x2 $$
$$ \text{Sujeito a } x1 + 2x2 \leq 8 $$

Isso significa que o valor de $Z$ nunca pode ser maior que 8, pois a própria restrição limita essa soma a 8. Portanto, o valor máximo possível teoricamente é 8.

Verificação de Viabilidade:

Para ter certeza de que 8 é o valor ótimo, precisamos confirmar que existe pelo menos um ponto viável onde $x1 + 2x2 = 8$ que também satisfaça a segunda restrição.

Vamos testar dois extremos da linha $x1 + 2x2 = 8$ no primeiro quadrante:

• Ponto $(0, 4)$:
• Restrição 1: $0 + 2(4) = 8$ (Atende $\leq 8$)
• Restrição 2: $-0 + 4 = 4 \leq 16$ (Atende $\leq 16$)
• Valor de $Z$: $0 + 2(4) = \mathbf{8}$
• Ponto $(8, 0)$:
• Restrição 1: $8 + 2(0) = 8$ (Atende $\leq 8$)
• Restrição 2: $-8 + 0 = -8 \leq 16$ (Atende $\leq 16$)
• Valor de $Z$: $8 + 2(0) = \mathbf{8}$

Como ambos os pontos são viáveis e atingem o valor 8, e sabemos que nada pode passar de 8 devido à primeira restrição, o valor ótimo é garantido. A segunda restrição ($-x1 + x2 \leq 16$) é considerada redundante neste contexto, pois não restringe ainda mais a solução já limitada pela primeira restrição no primeiro quadrante.

Resumo

O valor da função objetivo é limitado diretamente pela primeira restrição. Como a restrição estabelece que $x1 + 2x2$ deve ser menor ou igual a 8, o máximo valor possível para $Z$ é 8.

Alternativa A.