O sistema descrito é um controlador PD aplicado a uma planta com cancelamento de polo e zero, resultando em uma função de transferência de malha fechada de segunda ordem criticamente amortecida. A resposta temporal para um impulso de amplitude 2 é dada por y(t) = 2te^{-t}.
Resolução Detalhada
Este problema envolve a análise de um sistema de controle em malha fechada. Para resolvê-lo, precisamos primeiro definir o modelo matemático do controlador e da planta, calcular a função de transferência global e então analisar suas propriedades dinâmicas.
1. Caracterização do Controlador e Planta
Primeiro, determinamos os parâmetros do controlador PD (Proporcional-Derivativo). O enunciado fornece:
- Constante derivativa: K_D = 1.
- Constante proporcional: K_P é 300% maior que a derivativa.
- Cálculo: K_P = K_D + 300\% \cdot K_D = 1 + 3(1) = 4.
A função de transferência do controlador C(s) é dada por:
C(s) = K_P + K_D s = 4 + 1s = s + 4
A planta G(s) é fornecida como:
G(s) = \frac{1}{s(s+2)(s+4)}
2. Função de Transferência em Malha Fechada (Item a)
O sistema possui realimentação unitária negativa. A função de transferência em malha aberta L(s) é o produto do controlador pela planta:
L(s) = C(s) \cdot G(s) = (s + 4) \cdot \frac{1}{s(s+2)(s+4)}
Observa-se um cancelamento de polo e zero: o termo (s+4) aparece no numerador de C(s) e no denominador de G(s). Eles se anulam, simplificando o caminho direto:
L(s) = \frac{1}{s(s+2)}
A função de transferência em malha fechada T(s) para realimentação unitária é:
T(s) = \frac{L(s)}{1 + L(s)} = \frac{\frac{1}{s(s+2)}}{1 + \frac{1}{s(s+2)}}
Multiplicando numerador e denominador por s(s+2):
T(s) = \frac{1}{s(s+2) + 1} = \frac{1}{s^2 + 2s + 1}
Fatorando o denominador:
T(s) = \frac{1}{(s+1)^2}
3. Polos do Sistema (Item b)
Os polos são as raízes do polinômio característico (denominador de T(s) igualado a zero):
s^2 + 2s + 1 = 0 \Rightarrow (s+1)^2 = 0
Portanto, o sistema possui um polo duplo real em:
s = -1
4. Equação Diferencial (Item c)
Para obter a equação diferencial, utilizamos a relação entre entrada X(s) e saída Y(s):
\frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s^2 + 2s + 1}
Y(s)(s^2 + 2s + 1) = X(s)
s^2 Y(s) + 2s Y(s) + Y(s) = X(s)
Aplicando a transformada inversa de Laplace (substituindo s^n por derivadas de ordem n):
\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 2\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t)
5. Resposta Temporal (Item d)
A entrada é um impulso de amplitude 2. A transformada de Laplace de um impulso \delta(t) é 1, logo para amplitude 2 temos X(s) = 2.
Y(s) = T(s) \cdot X(s) = \frac{1}{(s+1)^2} \cdot 2 = \frac{2}{(s+1)^2}
Utilizamos a propriedade da tabela de Laplace para transformadas exponenciais multiplicadas por tempo:
\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{(s+a)^2} \right\} = t e^{-at}
Com a = 1, obtemos a resposta no domínio do tempo:
y(t) = 2t e^{-t}, \quad \text{para } t \geq 0
Análise
- Cancelamento Crítico: A escolha de K_P = 4 cria um zero no controlador exatamente sobre o polo instável da planta em s=-4, simplificando drasticamente a dinâmica do sistema.
- Estabilidade: Como o único polo está em s=-1 (parte real negativa), o sistema é assintoticamente estável.
- Tipo de Amortecimento: O polo duplo indica que o sistema é criticamente amortecido, sem oscilações na resposta ao degrau (embora aqui tenhamos resposta ao impulso).
- Decaimento: A resposta decaie exponencialmente devido ao termo e^{-t}, mas cresce linearmente inicialmente devido ao termo t.
Conclusão
O sistema projetado resulta em uma dinâmica de segunda ordem simples e estável. A presença do termo derivativo foi fundamental para cancelar um polo lento da planta, permitindo um desempenho mais rápido e previsível. A solução completa envolveu a identificação dos ganhos, simplificação algébrica, determinação das raízes características e aplicação das propriedades da Transformada de Laplace inversa.