Considere uma sequência infinita de casas numeradas como 1ª, 2ª, 3ª, e assim por diante. Em uma das sequências, um círculo avança de duas em duas casas. Em outra sequência, um quadrado avança de seis em seis casas. Sabendo que ambos se encontram na primeira casa, em qual casa ocorrerá o quarto encontro entre o círculo e o quadrado?

Resolução da Questão

A questão envolve a identificação de padrões em sequências numéricas e o cálculo de intersecções entre elas.

Análise dos Movimentos

Primeiro, precisamos determinar em quais casas cada figura estará posicionada:

• Círculo: Começa na $1^{\text{a}}$ casa e avança de 2 em 2.
• Isso significa que ele ocupa todas as casas de número ímpar.
• Sequência: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, \dots$
• Quadrado: Começa na $1^{\text{a}}$ casa e avança de 6 em 6.
• Ele ocupa apenas algumas casas específicas.
• Sequência: $1, 7, 13, 19, 25, \dots$

Determinando os Encontros

Um encontro ocorre quando ambos os objetos estão na mesma casa. Para isso, a casa deve pertencer simultaneamente às sequências acima.

Observe que toda casa ocupada pelo quadrado segue a fórmula $1 + 6k$ (onde k é um número inteiro). Como $6k$ é sempre um número par, somar 1 resulta sempre em um número ímpar.

Portanto, todas as casas onde o quadrado chega são casas ímpares, e consequentemente, o círculo também estará nessas casas. Os encontros ocorrem exatamente nos pontos de parada do quadrado.

Cálculo do Quarto Encontro

Vamos listar os encontros na ordem cronológica:

1. 1º Encontro: $1^{\text{a}}$ casa (posição inicial)
2. 2º Encontro: $1 + 6 = 7^{\text{a}}$ casa
3. 3º Encontro: $7 + 6 = 13^{\text{a}}$ casa
4. 4º Encontro: $13 + 6 = 19^{\text{a}}$ casa

Podemos usar a fórmula de Progressão Aritmética (PA) para confirmar, onde o primeiro termo é 1, a razão é 6 e queremos o 4º termo:
a_n = a_1 + (n-1)r
a_4 = 1 + (4-1) \cdot 6
a_4 = 1 + 18
a_4 = 19

Conclusão

O quarto encontro entre o círculo e o quadrado ocorrerá na 19ª casa.