Demonstre que √2 é um número irracional, feita por um estudante de métodos de demonstração, ele assim escreveu: Demonstração. Suponha, por absurdo, que √2 é racional. Desta forma, seria possível encontrar números inteiros a; b, com b ≠ 0, tais que √2 poderia ser representado como fração irredutível a/b. II. A partir disto, podemos afirmar que: 2 = (a/b)² = a²/b² 2b² = a² Assim, temos que a² é par, e desta forma, a também é par. Como a é par, a = 2k para algum inteiro k. Logo: 2b² = (2k)² = 4k² b² = 2k² O que nos diz que b também é par. Mas isto é uma contradição, pois se a e b são pares, a fração irredutível a/b não poderia ser reduzida, um absurdo. Logo, podemos concluir que o número não pode ser racional, e sim irracional.

Alternativa A

Análise da Questão:

Esta questão trata da estrutura lógica de uma demonstração matemática clássica: a prova de que \sqrt{2} é um número irracional. Para responder, devemos analisar a veracidade de cada parte e o relacionamento lógico entre elas.

Verificação das Asserções

1. Asserção I (Verdadeira):

• Esta parte estabelece a base do método de demonstração por absurdo (ou contradição).
• Ela afirma corretamente que, para provar que um número é irracional, começamos supondo que ele é racional.
• Pela definição, todo número racional pode ser expresso como uma fração de inteiros a/b (com b \neq 0) que está na sua forma irredutível (mínimos termos).
• Portanto, a premissa apresentada na Asserção I é matematicamente correta.

1. Asserção II (Verdadeira):

• Esta parte contém a dedução algébrica que segue da premissa.
• O raciocínio utiliza propriedades dos números pares: se a^2 é par, então a também é par.
• A substituição a = 2k leva à conclusão de que b^2 também é par, implicando que b é par.
• Chega-se à contradição: se a e b são ambos pares, a fração a/b tem fator comum 2, logo não era irredutível, o que contradiz a Asserção I.
• Portanto, a lógica apresentada na Asserção II é rigorosamente correta.

Relação Lógica (Justificativa)

• O texto original conecta as duas partes com a conjunção "PORQUE". Isso indica que o autor da demonstração considera a segunda parte como a razão ou explicação da primeira.
• Embora a Asserção I seja uma definição/hipotese, no contexto da estratégia de demonstração, a Asserção II explica como essa hipótese leva ao resultado desejado (a contradição).
• Sem os passos lógicos da Asserção II, a suposição da Asserção I permaneceria apenas uma hipótese sem desdobramento prático. Assim, a Asserção II valida e justifica a viabilidade do método iniciado na Asserção I.
• Em questões de lógica matemática e vestibulares, quando a sequência lógica é perfeita e a segunda parte explica o desenvolvimento da primeira dentro do argumento, considera-se que há uma relação de justificativa.

Conclusão

Ambas as asserções são proposições verdadeiras. Além disso, a Asserção II fornece o raciocínio matemático necessário para sustentar e concluir a demonstração iniciada na Asserção I, configurando-se como sua justificativa no fluxo do argumento.

Portanto, a opção correta é a A.