Determine a função do sistema, sendo sinais de entrada x[n] e saída y[n] de um sistema: y[n] = 0.25^(n-1) u[n-1] x[n] = 0.5^n u[n]

Alternativa A

Para encontrar a função do sistema H(z), precisamos calcular a razão entre a Transformada Z da saída Y(z) e a Transformada Z da entrada X(z).

Definição da Função de Transferência

A função de transferência no domínio Z é definida como:

Onde X(z) é a Transformada Z da entrada e Y(z) é a Transformada Z da saída.

Passo a Passo do Cálculo

1. Calcular X(z) (Entrada)
Dada a sequência x[n] = 0.5^n u[n], utilizamos o par de transformadas padrão para uma exponencial causal:
a^n u[n] \Leftrightarrow \frac{1}{1 - az^{-1}}
Substituindo a = 0.5:
X(z) = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}

2. Calcular Y(z) (Saída)
Dada a sequência y[n] = 0.25^{(n-1)} u[n-1].
Esta é uma sequência exponencial deslocada no tempo em 1 unidade (n \rightarrow n-1).
Primeiro, identificamos a transformada da base $0.25^n u[n]$:
\mathcal{Z}\{0.25^n u[n]\} = \frac{1}{1 - 0.25z^{-1}}
Aplicando a propriedade do atraso temporal (x[n-k] \Leftrightarrow z^{-k}X(z) com k=1):
Y(z) = z^{-1} \cdot \frac{1}{1 - 0.25z^{-1}} = \frac{z^{-1}}{1 - 0.25z^{-1}}

3. Determinar $H(z)$
Dividimos Y(z) por X(z):

Multiplicando pelo inverso do denominador:

Distribuindo o termo z^{-1} no numerador:

Conclusão

Comparando nosso resultado com as alternativas apresentadas na imagem:

Portanto, a resposta correta é a Alternativa A.