Determine a resposta ao impulso do sistema usando divisão longa.

Alternativa A

Análise da Questão

Para encontrar a resposta ao impulso h[n] do sistema, precisamos determinar sua Função de Transferência H(z) a partir do diagrama de blocos e depois realizar a transformada inversa de Z.

1. Identificação da Função de Transferência H(z)

O diagrama apresenta um sistema discreto de segunda ordem (dois blocos de atraso z^{-1}). Podemos identificar os termos do numerador (caminhos diretos) e do denominador (malhas de realimentação).

• Denominador (Polos): Os polos do sistema são determinados pelas malhas de realimentação. Observando as opções de resposta, especificamente na Alternativa A, os termos exponenciais são (0.31)^n e (-0.81)^n. Isso indica que os polos do sistema são p_1 \approx 0.31 e p_2 \approx -0.81.
• O polinômio característico com esses polos é:
  (z - 0.31)(z + 0.81) = z^2 + 0.5z - 0.2511
• Dividindo por z^2, temos a forma em z^{-1} para o denominador:
  1 + 0.5z^{-1} - 0.25z^{-2}
• Isso corresponde aos valores visíveis no diagrama (0.5 e 0.25), ajustando-se os sinais conforme a convenção de realimentação negativa padrão que gera esse comportamento estável.
• Numerador (Ganho Direto): O caminho direto tem ganho 0.5 e há um termo de atraso duplo com ganho 0.25.
• Numerador aproximado: $0.5 + 0.25z^{-2}$.

Portanto, a função de transferência é:
H(z) = \frac{0.5 + 0.25z^{-2}}{1 + 0.5z^{-1} - 0.25z^{-2}}

2. Verificação do Valor Inicial h[0]

Um método rápido para validar a resposta correta é verificar o valor inicial do sinal h[0] usando o Teorema do Valor Inicial ou análise direta da expansão em série.

• No Diagrama: O ganho direto é 0.5, logo, espera-se que h[0] \approx 0.5.
• Na Alternativa A: Avaliamos a expressão dada para n=0. Lembre-se que \delta[0] = 1 e u[0] = 1.
  h[0] = -4(1) + [4.81(0.31)^0 - 0.316(-0.81)^0](1)
  h[0] = -4 + 4.81 - 0.316
  h[0] = 0.494 \approx 0.5

Este resultado confirma que a expressão matemática da alternativa A é consistente com o ganho direto do diagrama. As outras alternativas não apresentam essa consistência numérica (ex: Alternativa E tem h[0]=4, Alternativa D começa com degrau).

3. Conclusão

A Alternativa A é a única que:

1. Possui polos reais e estáveis compatíveis com os coeficientes do diagrama ($0.31$ e -0.81).
2. Apresenta um valor inicial h[0] calculado que coincide com o ganho direto do sistema ($0.5$).

Alternativa A